Autor Tema: Función de densidad

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27 Junio, 2019, 10:18 am
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Farifutbol

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Los dos lados de un triángulo isósceles tiene una longitud L cada uno de ellos, y el ángulo x entre ellos es una variable aleatoria X con una función de densidad proporcional a \( x (\pi -x) \) en cada punto \( x\in{(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}}) \). Calcular la función de densidad del área del triángulo y su esperanza.

27 Junio, 2019, 10:47 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Los dos lados de un triángulo isósceles tiene una longitud L cada uno de ellos, y el ángulo x entre ellos es una variable aleatoria X con una función de densidad proporcional a \( x (\pi -x) \) en cada punto \( x\in{(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}}) \). Calcular la función de densidad del área del triángulo y su esperanza.

Una función de densidad proporcional a \( x (\pi -x) \) en cada punto \( x\in{(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}}) \) es necesariamente de la forma:

\( f(x)=\begin{cases} kx(\pi-x) & \text{si}& x\in [0,\pi/2]\\c & \text{si}& x\not\in [0,\pi/2]\end{cases} \)

Para hallar \( k \) impón que para que sea función de densidad tiene que cumplir:

\( 1=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}x(\pi-x)dx \)

El área viene dada por:

\( A(x)=\dfrac{1}{2}L^2sin(x) \)

Por el Teorema de Cambio de variable, si llamamos \( g(a) \) a la función de densidad de la transformada \( A(X) \):

\( g(a)=f(A^{-1}(a))\dfrac{1}{A'(A^{-1}(a))} \)

con \( a\in [0,L^2/2] \).

La esperanza la puedes calcular directamente como:

\( E[A(X)]=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}A(x)f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\dfrac{1}{2}L^2sin(x)x(\pi-x)dx \)

Saludos.

07 Agosto, 2019, 08:18 am
Respuesta #2

Farifutbol

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