[mathtruco]

Hola a todos.

Mi duda proviene al negar la negación del existe un único.

La negación de:

    \( \boxed{(\exists ! x\in A):\;p(x)} \)

es:

    \( \Big[(\forall x\in A):\;\,\sim p(x)\Big]\quad \vee\quad\Big[(\exists x_1\in A,\;\exists x_2\in A,\;x_1\neq x_2):\;\, p(x_1)\wedge  p(x_2)\Big] \).

La negación de esta última línea me debiera dar la proposición original, esto es (negando la última línea):

    \( \Big[(\exists x\in A):\;\, p(x)\Big]\quad \wedge\quad\Big[(\forall x_1\in A,\;\forall x_2\in A,\;{\color{red}x_1\neq x_2}):\;\, \sim p(x_1)\vee \sim p(x_2)\Big] \).

Esta última proposición es equivalente a la original (la que está encerrada en el rectángulo).

Me hace sentido lo escrito anteriormente porque sé a lo que quiero llegar, pero mi duda es al tratar de explicar cómo proceder mecánicamente con un ejercicio similar. Mi duda específica es al tratar de explicar porqué el término en rojo \( \color{red}x_1\neq x_2 \) es así, porque si uno procede de manera mecánica, al estar negando debiera haber escrito \( x_1=x_2 \).

¿Puede ayudarme a entender la situación?

[geómetracat]

Es que está mal expresado. La primera fórmula debería ser así:

    \( \Big[(\forall x\in A):\;\,\sim p(x)\Big]\quad \vee\quad\Big[(\exists x_1\in A,\;\exists x_2\in A),\;x_1\neq x_2 \wedge p(x_1)\wedge  p(x_2)\Big] \).

No entiendo por qué pones el \( x_1 \neq x_2 \) junto a los cuantificadores, tal como lo escribes no es una fórmula bien formada y no está del todo claro qué significa.

De esta manera, al negar te queda:

    \( \Big[(\exists x\in A):\;\, p(x)\Big]\quad \wedge\quad\Big[(\forall x_1\in A,\;\forall x_2\in A),\;x_1=x_2 \vee \sim p(x_1)\vee \sim p(x_2)\Big] \),

que es lo que debería ser. Se ve más claro aún si uno se da cuenta de que \(     x_1=x_2 \vee \sim p(x_1)\vee \sim p(x_2)   \) es equivalente a \( p(x_1) \wedge p(x_2) \rightarrow x_1 = x_2 \).

[mathtruco]

Gracias geómetracat por la aclaración. Eso de poner el \( x_1\neq x_2 \) junto a los cuantificadores viene en el texto que estaba leyendo, y precisamente origina mi duda. Pero la aclaración que diste me convence.

Muchas gracias.

[geómetracat]

Por curiosidad, ¿qué libro es?
Yo nunca he visto eso escrito así, aunque sí se suelen usar cosas parecidas a veces. Por ejemplo, es muy habitual ver en teorías aritméticas cuantificadores acotados \( \forall x \leq n \phi(x) \) y \( \exists x \leq n \phi(x) \), que son abreviaturas para las fórmulas \( \forall x (x \leq n \rightarrow \phi(x) \) y \( \exists x (x \leq n \wedge \phi(x) \), respectivamente.

En tu caso, entendiendo la única interpretación razonable que es que la fórmula
\( (\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2) \)
sea una abreviatura para la fórmula
\( \forall x_1 \forall x_2 (x_1 \neq x_2 \rightarrow \phi(x_1,x_2)) \)
y similarmente que la fórmula
\( (\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2) \)
sea una abreviatura para la fórmula
\( \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) \),
tienes como resultado general que
\( \neg(\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \phi(x_1,x_2) \equiv (\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \neg \phi(x_1,x_2) \).

En efecto, para demostrarlo, basta con negar la fórmula no abreviada:
\(  \neg \exists x_1 \exists x_2 (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) \equiv \forall x_1 \forall x_2  \neg(x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2))  \)
y observar que \( \neg (x_1 \neq x_2 \wedge \phi(x_1,x_2)) \equiv \neg(x_1 \neq x_2) \vee \neg \phi(x_1,x_2) \equiv x_1 \neq x_2 \rightarrow \neg \phi(x_1,x_2) \).

Así, puedes negar en la forma abreviada, teniendo en cuenta que:
\( \neg (\exists x_1, \exists x_2, x_1 \neq x_2) \equiv (\forall x_1, \forall x_2, x_1 \neq x_2) \neg  \)
es decir, sin negar a su vez \( x_1 \neq x_2 \).

[mathtruco]

Por curiosidad, ¿qué libro es?

Disculpa por tardarme en responder. Hace bastante tiempo que no tengo computador personal, y es una de las razones por la que he bajado mi participación en el foro.

No era un libro, sino unas diapositivas "históricas" de la facultad. Como eran históricas, pensé que estaban correctas. Seguramente era una errata. Como está pensada para alumnos de ingeniería, no tiene intención de ser muy profunda, así que no creo que sea necesario buscarle más.

Con lo que has expuesto me has dejado claro el tema. Muchas gracias!