Autor Tema: Demostrar: \(\sum_{i=0}^m{\binom{a}{i}\binom{b}{m-i}}=\binom{a+b}{m}\)

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26 Junio, 2019, 08:34 am
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Tanakaneitor

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Hola,¿Cómo demuestran lo siguiente?

\(  \displaystyle\sum_{i=0}^m{\displaystyle\binom{a}{i}\displaystyle\binom{b}{m-i}}=\displaystyle\binom{a+b}{m} \)

Tengo mucha duda, espero puedan aclararla.

Gracias

26 Junio, 2019, 11:05 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola,¿Cómo demuestran lo siguiente?

\(  \displaystyle\sum_{i=0}^m{\displaystyle\binom{a}{i}\displaystyle\binom{b}{m-i}}=\displaystyle\binom{a+b}{m} \)

Tengo mucha duda, espero puedan aclararla.

Gracias


Hay muchas formas. Dos ideas:

1) Teniendo en cuenta la conocida fórmula del binomio de Newton:

\( (1+x)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{}\displaystyle\binom{n}{k}x^k \)

Considera la identidad.

\( (1+x)^a(1+x)^b=(1+x)^{a+b} \)

y compara los coeficientes de los términos de grado \( m \).

2) Utilizamos que \( \displaystyle\binom{n}{k} \) se puede interpretar como el número se subconjuntos de un conjunto de \( k \) elementos.

Entonces toma \( A=\{1,2,\ldots,a\} \), \( B=\{a+1,a+2,\ldots,a+b\} \) y \( C=A\cup B \).

Por una parte el número de subconjuntos de \( m \) elementos de \( C \) es \( \displaystyle\binom{a+b}{m} \).

Por otra parte cualquier subconjunto \( D \) de \( m \) elementos de \( C \) se descompone en un subconjunto \( D\cap A \) de \( i \) elementos de \( A \), con \( 0\leq i\leq a \) y otro \( D\cap B \) de \( m-i \) elementos de \( B \).

Por tanto el número de subconjuntos de \( m \) elementos de \( C \) también puede calcularse como:

\( \displaystyle\sum_{i=0}^n{}\displaystyle\binom{a}{i}\displaystyle\binom{b}{m-i} \)

Saludos.