Autor Tema: Precompacidad de un espacio métrico

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26 Junio, 2019, 04:56 am
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Micranthum

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Buenas, ¿,e podrían ayudar?

Sea \( (X,d) \) un espacio métrico. Demostrar que \( X \) es precompacto respecto a la métrica \( d \) si y sólo si es precompacto respecto a la métrica \( d'=min\left\{{1,d}\right\} \)

26 Junio, 2019, 11:34 am
Respuesta #1

geómetracat

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¿Qué definición usas de espacio métrico precompacto? Buscando por internet, parece que puede ser lo que yo entiendo por espacio totalmete acotado, es decir, que para cada \( \epsilon>0 \) existe un número finito de puntos \( x_1, \dots, x_n \) tales que \( X = B(x_1,\epsilon) \cup \dots \cup B(x_n, \epsilon) \). Si no es eso lo que quieres decir con precompacto, acláralo por favor.

Si es así, el problema se resuelve observando que las bolas de radio \( \epsilon \) para las distancias \( d \) y \( d' \) coinciden cuando \( \epsilon \leq 1 \). Si \( (X,d) \) es precompacto, esa observación más el hecho de que en la distancia \( d' \) una bola de radio mayor que \( 1 \) es todo el espacio prueba que \( (X,d') \) es precompacto.
Para la implicación contraria, basta combinar la observación de arriba con el hecho de que en general si \( X = B(x_1, \epsilon) \cup \dots \cup B_d(x_n, \epsilon) \) para un cierto \( \epsilon \), entonces también \( X = B(x_1, \epsilon') \cup \dots \cup B_d(x_n, \epsilon') \) para cualquier \( \epsilon' > \epsilon \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)