Autor Tema: Cero elevado a cero

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25 Junio, 2019, 13:50
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Marcos Castillo

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Hola.

Quiero entender este pdf adjunto para entender \[ 0^0=1 \]. ¿Me explicáis y me contextualizáis la PROPOSICIÓN 25?. Tengo nociones básicas de conjuntos, y sé inglés. Estoy estudiando un libro de acceso a la universidad, con vuestra ayuda. ¿Cómo lo veis para mí este pdf?. Son solo 9 hojas, y yo tengo ganas.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

25 Junio, 2019, 15:00
Respuesta #1

geómetracat

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Si tienes ganas de leerte el pdf, adelante. Si te surgen dudas las puedes ir poniendo aquí, como siempre.

Sobre la proposición 25, en teoría de conjuntos se define el cardinal de un conjunto \[ A \], que intuitivamente se corresponde con su número de elementos. Si \[ A \] es un conjunto finito, no hay ningún problema, y puedes identificar los cardinales finitos con los números naturales, incluyendo el cero. Por ejemplo, el cardinal de \[ A = \{ 1, 5, 78 \} \] es \[ 3 \] porque el conjunto tiene tres elementos. Si el conjunto es infinito el concepto de cardinalidad es algo más sutil, y no voy a entrar en ello ahora pues no es importante para la cuestión que nos ocupa.

En teoría de conjuntos se define la exponenciación de cardinales de la siguiente forma (me restringiré a cardinales finitos, es decir, a números naturales). El cardinal \[ n^m \] es el cardinal del conjunto de todas las aplicaciones de un conjunto de cardinal \[ m \] en un conjunto de cardinal \[ n \].
Por ejemplo, \[ 2^1=2 \] porque hay exactamente dos aplicaciones de un conjunto de un elemento en un conjunto de dos elementos. No es muy difícil convencerse de que la exponenciación así definida coincide con la exponenciación de números naturales "de toda la vida".

Ahora, calculemos \[ n^0 \]. Este es el número de aplicaciones de un conjunto de cero elementos (es decir, el conjunto vacío) en un conjunto de \[ n \] elementos. Pero solo hay una tal aplicación: la aplicación vacía. Por tanto, \[ n^0=1 \], y esto incluye el caso en que \[ n=0 \], pues hay exactamente una aplicación del.conjunto vacío en sí mismo. Además, esto vale también para cardinales infinitos: si \[ \kappa \] es un cardinal, se tiene que \[ \kappa^0=1 \], por el mismo motivo: hay exactamente una aplicación del conjunto vacío en cualquier otro conjunto.
Esto es lo que afirma el apartado a) de la proposición 25 del pdf.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

25 Junio, 2019, 18:11
Respuesta #2

Gustavo

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25 Junio, 2019, 18:17
Respuesta #3

Marcos Castillo

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Hola Gustavo

El pdf lo he sacado de el hilo que mencionas.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

25 Junio, 2019, 18:31
Respuesta #4

Fernando Revilla

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  • Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).
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Puede ser útil la respuesta 16# de http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=100182.0. Se justifica que \[ 0^0=1 \] en términos de cardinalidad y en respuestas anteriores que \[ 0^0 \] es indeterminado en términos de límites. Nada especial, pues todo está relacionado con la pregunta que se esconde tras la expresión \[ 0^0 \].

26 Junio, 2019, 02:22
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola, geómetracat, Fernando Revilla
geómetracat, me quedo con tu mensaje, que me explica lo que me interesa del pdf, que es el valor de cero elevado a cero desde el punto de vista conjuntista. No necesito más.
Fernando Revilla, gracias por comentarme el punto de vista también de los límites de funciones.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

04 Julio, 2019, 07:58
Respuesta #6

Marcos Castillo

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Hola, geómetracat. La proposición 25. a) dice:
\[ \alpha^0=0 \], cualquiera sea el cardinal \[ \alpha \]. No me cuadra con la explicación que me diste.
Un saludo.
No man is an island (John Donne)

04 Julio, 2019, 08:04
Respuesta #7

geómetracat

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No me di cuenta en su momento. Es una errata. Debería decir \[ \alpha^0 = 1 \] (si no, la observación de al lado no tiene sentido).
Igualmente, en el apartado b) del mismo teorema, debería ser "si \[ \alpha \neq 0 \], entonces \[ 0^\alpha = 0 \].
En los siguientes extractos de otros textos está todo bien.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

04 Julio, 2019, 10:28
Respuesta #8

Marcos Castillo

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Hola geómetracat
Perfecto. Algo más adelante dice:
\[ \color{red}\mbox{Demuestre que}\;\kappa^0=1\;\mbox{y}\;\kappa^1=\kappa\;\mbox{para todo}\;\kappa \]
¿\[ \kappa \] significa "cardinal", al igual que \[ \alpha \]?; ¿cómo se demuestran esas dos igualdades, evitando notaciones farragosas si las hubiera?.
Saludos
No man is an island (John Donne)

04 Julio, 2019, 11:04
Respuesta #9

geómetracat

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Sí, \[ \kappa \] es un cardinal.
La primera igualdad ya te la indiqué en mi respuesta original. Para calcular \[ \kappa^0 \], tienes que contar cuántas aplicaciones \[ f: \emptyset \rightarrow A \] hay, donde \[ A \] es un conjunto cualquiera de cardinal \[ \kappa \]. Pero solo hay hay una tal aplicación: la aplicación vacía. Por tanto, \[ \kappa^0 =1 \].

La otra igualdad es parecida. Hay que contar cuántas aplicaciones \[ 1 \rightarrow A \] hay, donde \[ A \] es un conjunto de cardinal \[ \kappa \] y \[ 1 \] un conjunto con un único elemento. Pero está claro que hay \[ \kappa \] aplicaciones: para cada \[ x \in A \] tenemos la aplicación que envía el único elemento de \[ 1 \] a \[ x \], y estas son todas las aplicaciones que hay.
Por tanto, \[ \kappa^1 = \kappa \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \[ d^2=0 \]

04 Julio, 2019, 15:01
Respuesta #10

Marcos Castillo

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Bien. Más adelante, en un recuadro en inglés dice:
"Unos pocos hechos sobre aritmética cardinal:
(...)
(3.10) \[ \kappa^0=1 \]; \[ 1^{\kappa}=1 \]; \[ 0^{\kappa}=0\;\mbox{si}\;\kappa>0 \]
Para probar (3.4)-(3.10), uno debe sólo encontrar las apropiadas funciones uno-a-uno".
Las dudas son:
1- ¿A qué funciones se refiere?
2- ¿En este texto (tal vez en todos) función es sinónimo de aplicación?
3- En la proposición ésta, la (3.10), ¿kappa hace referencia a cardinales finitos?.
Un saludo
No man is an island (John Donne)