Autor Tema: Rectas tangentes comunes a dos curvas

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25 Junio, 2019, 05:24 am
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alfonso t

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Halle las ecuaciones de las 4 rectas tangentes comunes a  \( x^2+y^2=1 \) y \(  x^2+16y^2=4 \)


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25 Junio, 2019, 08:52 am
Respuesta #1

martiniano

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Hola alfonso t.

Bienvenido al foro.

Veo que estás aprendiendo con el Latex. El enunciado te hubiese quedado mucho mejor si hubieses puesto el texto fuera de las etiquetas Latex, ya que te hubiese quedado con espacios y sin cursiva.

Por otro lado, antes de postear procura poner títulos descriptivos a tus mensajes, tal y como se recuerda en las reglas del foro. Así como buscar una sección del foro adecuada para tu mensaje. Este hubiese encajado muy bien en alguna de Geometría.

La primera ecuación que das en el enunciado es la de una circunferencia centrada en el origen y de radio 1. La segunda es la de una elipse. Yo he empezado parametrizando la elipse de esta manera:

\( r(\theta)=\left(2\cos\theta,\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta\right) \)

El vector tangente:

\( r'(\theta)=\displaystyle\frac{dr}{d\theta}=\left(-2\sin\theta,\displaystyle\frac{1}{2}\cos\theta\right) \)

El haz de rectas tangentes a la elipse:

\( s(\theta,\lambda)=\left(2\cos\theta-2\lambda\sin\theta,\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\cos\theta\right) \)

Consideremos la recta tangente a la elipse en el punto correspondiente al parámetro \( \theta \), que es la que pasa por \( r(\theta) \) y tiene dirección \( r'(\theta) \). Para que esta recta sea tangente a la circunferencia, la distancia de la recta al centro de la circunferencia (origen de coordenadas) debe ser igual al radio de la circunferencia, es decir a 1. La distancia de esa recta al origen es:

\( d=\displaystyle\frac{\left |{r'\times{r}}\right |}{\left |{r'}\right |}=\displaystyle\frac{|\left |{\begin{bmatrix}{\vec{i}}&{\vec{j}}&{\vec{k}}\\{-2\sin\theta}&{\displaystyle\frac{1}{2}\cos\theta}&{0}\\{2\cos\theta}&{\displaystyle\frac{1}{2}\sin\theta}&{0}\end{bmatrix}}\right ||}{\sqrt[ ]{4\sin^2\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\cos^2\theta}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{4\sin^2\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\cos^2\theta}} \)

Igualando esto a 1 se tiene \( \sin\theta=\displaystyle\frac{\pm{\sqrt[ ]{5}}}{5} \) y \( \cos\theta=\displaystyle\frac{\pm{2\sqrt[ ]{5}}}{5} \)

Substituyendo cada una de las cuatro opciones en \( r(\theta) \) y \( r'(\theta) \) se obtiene un punto de una de las rectas que buscas y su vector director.

Espero que te sirva. Si te quedan dudas vuelve a preguntar. Un saludo.