Autor Tema: Cero y matriz nula elevado a cero

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24 Junio, 2019, 23:04
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Marcos Castillo

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Hola
He leido que un número, por ejemplo el 5, elevado a cero, es 1. ¿Es cierto?. ¿Y cero elevado a cero?.
Por otra parte, ¿una matriz no nula elevada a cero es la identidad?; ¿y la matriz nula elevada a cero también es la identidad?.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

25 Junio, 2019, 04:33
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

He leido que un número, por ejemplo el 5, elevado a cero, es 1.¿Es cierto?.

Si, es cierto. De manera más precisa \[ 5^0 \] se define como \[ 1 \]. ¿Es una buena definición? Si, porque se consigue que las propiedades básicas de la potencia basadas en si definición más intuitiva como producto repetido de un mismo número, se cumplan para exponente cero.

Por ejemplo:

\[ 5^a\cdot 5^b=5^{a+b} \]

("juega" tomando \[ a=0 \], \[ b=0 \] ó \[ a=0 \], \[ b\neq 0 \])

O también se consigue que la función \[ 5^x \] sea continua, porque:

\[ \displaystyle\lim_{x \to 0}{}5^x=1 \]

Citar
¿Y cero elevado a cero?.

Pues lo más extendido es tomar el convenio \[ 0^0=1 \], aunque podría exgrimirse algún motivo para definirlo como \[ 0^0=0 \]. Sobre el porque de esto hay dos hilos extensos que puedes leer con calma:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=57593.0

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=69240.0

Citar
Por otra parte, ¿una matriz no nula elevada a cero es la identidad?;


Si, de nuevo es una buena definición para conseguir que se cumplan propiedades como esta:

\[ A^xA^y=A^{x+y} \]

Citar
¿y la matriz nula elevada a cero también es la identidad?.

Si; de nuevo es la definición, el convenio mas extendido y práctico.

Saludos.

25 Junio, 2019, 06:08
Respuesta #2

Marcos Castillo

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Si, es cierto. De manera más precisa \[ 5^0 \] se define como \[ 1 \]. ¿Es una buena definición? Si, porque se consigue que las propiedades básicas de la potencia basadas en si definición más intuitiva como producto repetido de un mismo número, se cumplan para exponente cero.

Por ejemplo:

\[ 5^a\cdot 5^b=5^{a+b} \]

("juega" tomando \[ a=0 \], \[ b=0 \] ó \[ a=0 \], \[ b\neq 0 \])

O también se consigue que la función \[ 5^x \] sea continua, porque:

\[ \displaystyle\lim_{x \to 0}{}5^x=1 \]


Debo obtener más conocimientos sobre conjuntos. ¿Me puedes explicar la cita?
¡Hola y un saludo, estoy con el móvil!
No man is an island (John Donne)

25 Junio, 2019, 06:17
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola


Si, es cierto. De manera más precisa \[ 5^0 \] se define como \[ 1 \]. ¿Es una buena definición? Si, porque se consigue que las propiedades básicas de la potencia basadas en si definición más intuitiva como producto repetido de un mismo número, se cumplan para exponente cero.

Por ejemplo:

\[ 5^a\cdot 5^b=5^{a+b} \]

("juega" tomando \[ a=0 \], \[ b=0 \] ó \[ a=0 \], \[ b\neq 0 \])

O también se consigue que la función \[ 5^x \] sea continua, porque:

\[ \displaystyle\lim_{x \to 0}{}5^x=1 \]


Debo obtener más conocimientos sobre conjuntos. ¿Me puedes explicar la cita?

No hace falta saber nada de conjuntos para lo anterior. Deberías de especificar que es lo que no entiendes; aun así aclaro más.

Simplemente digo que la definición mas intutiva de potencia para exponente \[ n \] un número entero positivo es:

\[ 5^n=\underbrace{5\cdot 5\cdot \ldots\cdot 5}_{n\textsf{ veces}} \]

Por ejemplo:

\[ 5^2=5\cdot 5 \]
\[ 5^3=5\cdot 5\cdot 5 \]
\[ 5^1=5 \]

De ahí es inmediato que se cumple:

\[ 5^n\cdot 5^m=5^{n+m} \]

ya que a la izquierda multiplicamos \[ 5 \] por si mismo \[ n \] veces; luego \[ m \] veces más, luego en total \[ n+m \] veces.

Ahora si uno quiere que eso se cumpla para \[ n=0 \] tiene que ocurrir que:

\[ 5^0\cdot 5^m=5^{0+m}=5^m \]

Por ejemplo para \[ m=1 \]:

\[ 5^0\cdot 5^1=5^1 \]
\[ 5^0\cdot 5=5 \]

y entonces necesariamente \[ 5^0=1 \].

Saludos.

25 Junio, 2019, 09:00
Respuesta #4

iambo

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Buenas,

Una manera intuitiva de verlo también:

\[ 5^3=1\cdot 5\cdot 5\cdot 5\\
5^2=1\cdot 5\cdot 5\\
5^1=1\cdot 5\\
5^0=1 \]

Saludos.

25 Junio, 2019, 09:10
Respuesta #5

Marcos Castillo

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Hola

Muchas gracias iambo. Luis, voy a iniciar hilo para entender el pdf del profesor Asdrúbal para explicar por qué cero elevado a cero es uno. ¡Es una amenaza hecha realidad!😏
No man is an island (John Donne)