Hola a todos.
Aunque parezca una paradoja que cuanto mas grande es un numero par, más cantidad de parejas de primos cumplen la conjetura de Goldbach, aunque la densidad de primos disminuye, esto puede tener una explicación razonable.
Supongamos un número par perteneciente a la sucesión \( P=6a+8 \) podemos formar una tabla de dos columnas y \( \displaystyle\frac{a}{2} \) filas si a es par o \( \displaystyle\frac{a+1}{2} \) si a es impar, todos los términos de la tabla pertenecen a la sucesión \( 6x+1 \) en nuestro caso suponemos que a es par y tendríamos la tabla siguiente:
Columna izquierda + Columna derecha =\( P \)
\( (6*1+1) \) + \( (6a+1) \) = \( (6a+8) \)
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\( (6\displaystyle\frac{a}{2}+1) \) + \( 6(\displaystyle\frac{a}{2}+1)+1 \)
Como el número de primos de esta sucesión es la siguiente :
\( Pr\approx{\displaystyle\frac{x}{2\ln x}} \)
luego tendremos que
\( Prd\approx{\displaystyle\frac{6a+1}{2\ln(6a+1)}-\displaystyle\frac{3a+1}{2\ln(3a+1)}} \) y
\( Pri\approx{\displaystyle\frac{3a+1}{2\ln(3a+1)}} \)
donde
Prd = primos existentes en la columna de la derecha
Pri = primos en la columna de la izquierda
como supondremos valores de a muy grandes a>>>1 entonces despreciamos el 1 y quedará lo siguiente:
\( Prd\approx{\displaystyle\frac{6a}{2ln(6a)}-\displaystyle\frac{3a}{2ln(3a)}} \) y
\( Pri\approx{\displaystyle\frac{3a}{2ln(3a)}} \)
el número de parejas de primos de la tabla es lo siguiente:
\( Ppr=Pr+Pco-Np \) donde
Pr= numero total de primos de la tabla
Pco= numero de pares de compuestos
Np= numero total de parejas de la tabla
Co = numero de compuestos de la tabla
cuando Co > Np siempre se formaran parejas de compuestos sobrantes que podremos eliminar y será :
\( Pcos=Co-\displaystyle\frac{a}{2} \) como \( Co=2Np-Pr \) y tambien \( Co=a-\displaystyle\frac{6a}{2ln(6a)} \) luego
\( Pcos=a-\displaystyle\frac{3a}{ln(6a)}-\displaystyle\frac{a}{2} \) = \( \displaystyle\frac{a}{2}-\displaystyle\frac{3a}{ln(6a)} \)
luego el numero de parejas que nos quedan, será el numero que utilizaremos para el cálculo y que diremos que son las parejas efectivas, luego:
\( Npe=Np-Pcos \) = \( \displaystyle\frac{a}{2}-(\displaystyle\frac{a}{2}-\displaystyle\frac{3a}{ln(6a)}) \) = \( \displaystyle\frac{3a}{ln(6a)} \) luego al final nos queda que:
\( Npe=Pr \) aplicando la formula general a los nuevos valores tendremos :
\( Ppr=Pr+Pcoe-Npe \) luego \( Ppr=Pcoe \) y se formaran tantas parejas de primos como parejas de compuestos efectivos el resto de parejas seran mixtas es decir formadas por un primo y un compuesto
como\( Pco \) > \( Pcos \) siempre se cumplirá la conjetura
una vez eliminadas las parejas de compuestos sobrantes tenemos :
\( Cod=Pri \)
\( Coi=Prd \)
\( Cod=Npe-Prd \) = \( \displaystyle\frac{3a}{ln(3a)} \) = \( Pri \)
\( Coi=Npe-Pri \) = \( \displaystyle\frac{3a}{ln(6a)}-\displaystyle\frac{3a}{\ln(3a)} ;
\displaystyle\lim_{a \to{+}\infty}\displaystyle\frac{Pri}{Coi}= 1 ; \displaystyle\lim_{a \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{Prd}{Cod}} \) = 1
esta es la razón por la que cuanto mas grande es el numero par, hay mas densidad de primos en el numero de pares efectivos, tanto en la columna de la izquierda como en la columna de la derecha, por lo tanto habrá cada vez mas probabilidad de formación de parejas de primos, cuanto mas alto es el numero par.
Esto mismo se puede aplicar a la sucesión \( 6a+4 \) y a la sucesión \( 6a+6 \)
