Autor Tema: Explicación por qué Q es de medida cero

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23 Junio, 2019, 06:23 am
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ealaipigualamenosuno

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Hola a todos, estoy iniciando estudios básicos de topología y análisis real.
Tengo entendido que \( \mathbb{Q} \) es de medida cero y que  usando la analogía de la ruleta infinita de hotel de Hilbert, la probabilidad de que en la recta real "salga" un número racional es nula.
Si bien \( \mathbb{Q} \)  es infinito numerable el conjunto de los irracionales no son numerables no entiendo el concepto de medida cero y tampoco el de probabilidad cero ya mencionado.
¿Me pueden ayudar a entender estos conceptos?
Muchas gracias.
Sergio Salanitri
Aficionado a las matemáticas
https://disfrutematematicas.blog/

23 Junio, 2019, 10:03 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola a todos, estoy iniciando estudios básicos de topología y análisis real.
Tengo entendido que \( \mathbb{Q} \) es de medida cero y que  usando la analogía de la ruleta infinita de hotel del Hilbert , la probabilidad de que en la recta real "salga" un número racional es nula.
Si bien \( \mathbb{Q} \)  es infinito numerable el conjunto de los irracionales no son numerables no entiendo el concepto de medida cero y tampoco el de probabilidad cero ya mencionado.
Me pueden ayudar a entender estos conceptos?
Muchas gracias.

Con el concepto de probabilidad cero no puedo ayudarte mucho, ya que requiere un contexto en tu pregunta el cual desconozco, es decir, una distribución de probabilidad o una función de probabilidad específica. Es decir: yo puedo definir la siguiente distribución de probabilidad en \( \Bbb R \):

\( \displaystyle F(x):=\begin{cases}1,& x\ge\pi\\0,&\text{ otra cosa }\end{cases} \)

Entonces una variable aleatoria \( X \) con distribución \( F \) cumple que \( \Pr[X=\pi]=1 \) y \( \Pr[X=c]=0 \) cuando \( c \) es cualquier otro punto de \( \Bbb R \) distinto de \( \pi \). Por eso para poder hablar de probabilidad cero de algo se necesita una distribución de probabilidad para contextualizar de lo que se habla.



Respecto al tema de la medida cero sí que puedo ayudarte más: toda medida cumple la propiedad de ser \( \sigma \)-aditiva, ¿qué significa esto? Significa que si \( \mu \) es una medida y \( \{A_k\}_{k=0}^\infty \) es una sucesión de conjuntos disjuntos entre sí (es decir, que \( A_k\cap A_j=\emptyset \) siempre que \( j\neq k \)) entonces \( \mu(\bigcup_{k=0}^\infty A_k)=\sum_{k=0}^\infty\mu(A_k) \).

Ahora bien, la medida de Lebesgue, simbolicémosla por \( \lambda \), responde a nuestra noción intuitiva de longitud, es decir que \( \lambda([a,b])=b-a \), y en el caso de un conjunto con un solo elemento su medida es cero, es decir que \( \lambda(\{x\})=0 \) para cualquier \( x\in\Bbb R \).

Como \( \Bbb Q \) es contable entonces existe una biyección \( s:\Bbb N\to\Bbb Q \), entonces podemos definir una sucesión \( \{s_k\}_{k=0}^\infty \) que contenga a todos los números racionales exactamente una vez (es decir, que para la anterior biyección tenemos que \( s_k:=s(k) \)). Como \( \lambda \) es una medida entonces debe cumplirse que

\( \displaystyle \lambda(\Bbb Q)=\lambda(\bigcup_{k=0}^\infty\{s_k\})=\sum_{k=0}^\infty\lambda(\{s_k\})=0+0+0+...=0 \)