Autor Tema: Un pequeño problema de álgebra

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

17 Junio, 2019, 03:15 am
Leído 761 veces

GMat

  • Junior
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Saludos a todos, tengo una duda sobre el siguiente problema

hallar el máximo valor del número real \( m \) tal que sea cierta la siguiente afirmación:

Si \( a,b,c \) y \( d \) son números enteros positivos tales que,

\( c>d\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(1)}\\a+b=c+d\ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(2)}\\ab=2cd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(3)} \)
Entonces \( c/d>m \).

Mi primera idea fue despejar \( c \) en (2) y sustituir en (3), eso me da una ecuación cuadrática que al resolverla me da

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Una vez hecho eso una opción muy tentadora es sustituir los valores \( (a+b)=(c+d) \) y \( 2ab=4cd \)  en la última ecuación, pero esto me lleva a que \( c=0 \) o \( c=d \) lo cual contradice (1). Lo que quiero preguntar es ¿por que estaria mal hacer la sustitución que hice? ¿No debo hacerla por el simple hecho de que el resultad viola una de las condiciones o hay alguna otra razón? y finalmente ¿qué enfoque me pueden aconsejar tomar para resolver este problema?

17 Junio, 2019, 09:06 am
Respuesta #1

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,077
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
finalmente ¿qué enfoque me pueden aconsejar tomar para resolver este problema?

Hola, GMat.

Como \( \dfrac{c}{d}>m
  \) y “m” tiene que tomar el valor máximo, lo primero es hacer que “c” sea el valor de todos, por ser el numerador; y “d” el más pequeño, por ser el denominador. Así “m” podrá tomar el valor más grande. Por tanto, “a” y “b” quedan en medio en valor; en principio hay tres posibilidades a considerar \( d<a<b<c
  \) ó \( d<b<a<c
  \), o también hacer \( a+b \) (esto en principio).

Pero enseguida vemos que no se pierde generalidad considerando b>a ó b>a, por lo tanto, esto va a dar igual, la cuestión es si “m” es más grande cuando “a” y “b” son iguales o lo es cuando son distintas.

Ah, creí que decía que reales, ya me parecía raro

Saludos.

17 Junio, 2019, 10:25 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Saludos a todos, tengo una duda sobre el siguiente problema

hallar el máximo valor del número real \( m \) tal que sea cierta la siguiente afirmación:

Si \( a,b,c \) y \( d \) son números enteros positivos tales que,

\( c>d\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(1)}\\a+b=c+d\ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(2)}\\ab=2cd\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textrm{(3)} \)
Entonces \( c/d>m \).

Mi primera idea fue despejar \( c \) en (2) y sustituir en (3), eso me da una ecuación cuadrática que al resolverla me da

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2a}}{2} \)

Una vez hecho eso una opción muy tentadora es sustituir los valores \( (a+b)=(c+d) \) y \( 2ab=4cd \)  en la última ecuación, pero esto me lleva a que \( c=0 \) o \( c=d \) lo cual contradice (1). Lo que quiero preguntar es ¿por que estaria mal hacer la sustitución que hice? ¿No debo hacerla por el simple hecho de que el resultad viola una de las condiciones o hay alguna otra razón? y finalmente ¿qué enfoque me pueden aconsejar tomar para resolver este problema?

No tengo muy claro como se supone que llegas a \( c=0 \) ó \( c=d \). Yo no lo veo.

Podrías hacer lo siguiente si divides la primera y segunda ecuación por \( d \), la tercera por \( d^2 \) y llamas \( p=a/d,\quad q=b/d \) y \( x=c/d \) te queda:

\( x>1 \)
\( p+q=x+1 \)
\( pq=2x \)

Se trata de, bajo esas condiciones, minimizar \( x \).

De las dos últimas tienes:

\( x=\dfrac{p(1-p)}{2-p},\qquad q=\dfrac{2(1-p)}{2-p} \)

Para que \( x>1 \), tiene que cumplirse que \( p>2 \). Ahora el mínimo de:

\( f(p)=\dfrac{p(1-p)}{2-p} \)

cuando \( p>2 \) se alcanza (analizando su derivada) para \( p=2+\sqrt{2} \).

Por tanto el mínino valor de \( x \) es:

\( f(2+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2} \)

Nota que las variables \( p,q,x \) son cociente de enteros y por tanto racionales con denominador arbitrario \( d \). Por tanto podemos acercarnos tanto como queramos (pero sin llegar) a los valores reales no racionales que dan el mínimo. Concluimos que

\( m=3+2\sqrt{2} \)

Saludos.

23 Junio, 2019, 04:54 pm
Respuesta #3

GMat

  • Junior
  • Mensajes: 91
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Habia escrito mal, lo que resultaba de resolver la ecuación de segundo grado era

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Sustituyendo las igualdades (2) y (3) es que llegue a que \( c=d \) ó \( c=0 \). En cualquier caso, me gusto much su resolución del problema, muchas gracias por la ayuda

25 Junio, 2019, 10:54 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,066
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Habia escrito mal, lo que resultaba de resolver la ecuación de segundo grado era

\( c=\displaystyle\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-2ab}}{2} \)

Sustituyendo las igualdades (2) y (3) es que llegue a que \( c=d \) ó \( c=0 \).

Con esa sustitución quedaría:

\( c=\displaystyle\frac{(c+d)\pm\sqrt{c-d}}{2} \)

y las dos opciones serían_

\( c=\dfrac{(c+d)+(c-d)}{2}\quad \Leftrightarrow{}\quad c=c \) (es decir una identidad que no aporta nada)

ó

\( c=\dfrac{2d}{2}\quad \Leftrightarrow{}\quad c=d  \)

Saludos.