Autor Tema: Ecuación exponencial

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16 Junio, 2019, 10:25 pm
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xvb

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Hola,
Soy novato en este foro, y he llegado porque estoy intentando saber como se resuelven las ecuaciones tipo: \( x=2^{x-1} \)
(también soy novato en LaTex)

Representando ambas funciones veo que la solución és \( x=1 \) y \( x=2 \), pero no se como resolverla.

Un abrazo

17 Junio, 2019, 05:00 am
Respuesta #1

delmar

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Hola xvb

Bienvenido al foro


Ese tipo de ecuaciones no se resuelve utilizando las propiedades básicas de las ecuaciones, sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia o extraer logaritmos o raíces a ambos miembros de la igualdad. Se resuelven por métodos numéricos para ecuaciones de una sola variable, considerando que \( f(x)=x-2^{x-1} \) es una función continua y utilizando una gráfica de la función, de tal manera que lo único que se hace con el método, es precisar la solución de \( f(x)=0 \) te sugiero estudies el método de la bisección.

Saludos



Saludos

17 Junio, 2019, 09:16 am
Respuesta #2

xvb

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Ok, muchas gracias.

Me hubiera gustado algo más funcional que aproximaciones a través de la aplicación sucesiva del teorema de Bolzano, pero muchas gracias por tu aclaración.

Un saludo

17 Junio, 2019, 11:23 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Me hubiera gustado algo más funcional que aproximaciones a través de la aplicación sucesiva del teorema de Bolzano, pero muchas gracias por tu aclaración.

Tienes que tener en cuenta que es MUY habitual que en la aplicación de las matemáticas a otras ciencias aparezcan ecuaciones que no pueden ser resuelta de manera explícita y haya que recurrir a métodos numéricos para aproximar su solución. Esto justifica una amplísima teoría dedicada al estudio y desarrollo de tales métodos numéricos.

En tu caso concreto la ecuación puede resolverse utilizando la función no estandard (pero implementada en algunos paquetes de software matemático, como el Mathematica) W de Lambert.

\( x=2^{x-1} \)
\( ln(x)=(x-1)ln(2) \)
\( x=e^{(x-1)ln(2)} \)
\( x=e^{xln(2)}2^{-1} \)
\( -xln(2)e^{-xln(2)}=-2^{-1}ln(2) \)
\( -xln(2)=W(ln(2)/2) \)
\( x=\dfrac{-W(ln(2)/2)}{ln(2)} \)

Saludos.