Autor Tema: Cuerpos rechonchos

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11 Junio, 2019, 04:25 pm
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sedeort

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Últimamente estoy liado calculando dimensiones de determinadas figuras tridimensionales para que presenten el aspecto lo más "rechoncho" posible.
Con este curioso calificativo me refiero a los cuerpos que presentan la menor relación superficie / volumen.

Está claro que el objeto campeón absoluto en esta competición es la esfera.
Y por ejemplo, dentro de la familia de los paralelepípedos el cubo sería el más "gordito", jeje.
Generalmente los poliedros regulares son bastante rechonchos, unos más que otros , claro (el icosaedro es más "revolondo" que el tetraedro)

De entre la familia de los cilindros no es muy complicado calcular qué proporcion debe guardar el diámetro y la altura del más "boludo", :). Podéis intentarlo como entrenamiento en este tipo de problemas.

Más complicado, a mí me lo ha parecido, es el caso de los conos. Os reto a que lo hagáis. Cuál es el cono más "esférico" posible? Qué proporciones debe tener?

Este problema es de aplicación en la vida real. Así se explica porqué las burbujas o pompas de jabón son esféricas, o porqué los cuerpos esféricos son los que se enfrían más lentamente, etc

12 Junio, 2019, 12:40 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Últimamente estoy liado calculando dimensiones de determinadas figuras tridimensionales para que presenten el aspecto lo más "rechoncho" posible.
Con este curioso calificativo me refiero a los cuerpos que presentan la menor relación superficie / volumen.

Está claro que el objeto campeón absoluto en esta competición es la esfera.
Dentro de la familia de los paralelepípedos el cubo sería el más "gordito", jeje.

De entre la familia de los cilindros no es muy complicado calcular qué proporcion debe guardar el diámetro y la altura del más "boludo", :). Podéis intentarlo como entrenamiento en este tipo de problemas.

Más complicado, a mí me lo ha parecido, es el caso de los conos. Os reto a que lo hagáis. Cuál es el cono más rechoncho? Qué proporciones debe tener?

Este problema es de aplicación en la vida real. Así se explica porqué las burbujas o pompas de jabón son esféricas, o porqué los cuerpos esféricos son los que se enfrían más lentamente, etc

Este tipo de problemas se conoce como "problemas isoperimétricos".

En el caso del cono, es fácil calcular el de mínimo área fijado el volumen  \( V \). Se trata de minimizar:

\( A=\pi r\sqrt{h^2+r^2}+\pi r^2 \).

sujeto a \( V=\dfrac{1}{3}\pi r^2 h \).

Despejando \( h \) en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera queda una función en una variable:

\( f(r)=\pi\left(\sqrt{\dfrac{9V^2}{\pi^2 r^4}+r^2}+r^2\right) \)

Resolviendo \( f'(r)=0 \) se obtiene que el mínimo se aclanza cuando:

\( r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sqrt[3]{\dfrac{3V}{\pi}} \)

A partir de ahí se pueden calcular los valores de las otras variables y la razón mínima área/volumen.

Saludos.

18 Junio, 2019, 12:27 pm
Respuesta #2

sedeort

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 :aplauso:
Muy bien, Sr. Fuentes.
En el problema del cono yo lo hice en función del ángulo del vértice (tú lo hiciste con el radio de la base).
Es curioso como estos cuerpos optimizados presentan una proporciones sencillas.
Por ejemplo, en el caso del cilindro óptimo, el diámetro coincide con la altura.
Y en el caso del cono óptimo a mí me sale que la generatriz es el triple del radio. (Espero que sea la misma solución que la de Luis Fuentes, jeje)

18 Junio, 2019, 12:50 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Y en el caso del cono óptimo a mí me sale que la generatriz es el triple del radio. (Espero que sea la misma solución que la de Luis Fuentes, jeje)

Si, de acuerdo.

Saludos.