Hola
Hola a todos. Soy nuevo en el foro. Me llamo Alberto. Encantado.
Me podrías ayudar a resolver los siguientes problemas. Muchísimas gracias de antemano.
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
En particular no debes de limitarte a escribir un listado de enunciado de problemas; debes de indicar que has intentado y que dificultades concretas encuentras.
Algunas indicaciones:
Tomando como base el juego del ajedrez también se pueden plantear problemas dentro del campo de la probabilidad.
a) Tenemos todas las piezas del juego en su caja de madera, introducimos la mano sin mirar al interior y extraemos la primera pieza que nos tropezamos. Qué probabilidad hay de que la pieza extraída sea:
i) De color negro. ⇒
ii) Un caballo. ⇒
iii) El rey blanco. ⇒
iv) Cualquiera pero que no sea una torre. ⇒
En cualquiera de estos casos y dado que todas las piezas tienen la misma probabilidad de salir puedes calcular la probabilidad como:
\( \dfrac{\textsf{casos favorables}}{\textsf{casos totales}} \)
Los casos totales son siempre \( 32 \) ya que hay \( 32 \) piezas en el ajedrez.
Entonces por ejemplo en (iv) los casos favorables serían \( 32-4 \) porque hay \( 4 \) torres. La probabilidad pedida sería:
\( \dfrac{28}{32}=\dfrac{7}{8}
\)
b) En las condiciones de la cuestión anterior, sacamos dos piezas al mismo tiempo. Qué probabilidad hay de que sean:
i) Del mismo color. ⇒
ii) De distinto color. ⇒
iii) Un alfil y una dama. ⇒
iv) Cualesquiera que no sean peones. ⇒
La idea es la misma. Ahora los casos posibles son \( 32\cdot 31 \) (\( 32 \) para la primera pieza y \( 31 \) para la segunda, distinta de la inicial).
Por ejemplo en (iii) los casos favorables serían: \( 4\cdot 2+2\cdot 4 \) ya que hay 4 alfiles y 2 damas y pueden salir primero el alfil y luego la dama o al revés. La probabilidad sería:
\( \dfrac{4\cdot 2+2\cdot 4}{32\cdot 31} \)
c) Responder a las preguntas de la cuestión anterior, pero suponiendo que después de extraída la primera pieza, ésta se devuelve a la caja antes de extraer la segunda.
La diferencia es que ahora los casos totales son \( 32\cdot 32 \) ya que la primera pieza y segunda pueden repetirse. En el caso (iv) la probabilidad sería ahora:
\( \dfrac{4\cdot 2+2\cdot 4}{32\cdot 32} \)
También podriá calcularse usando que las dos extracciones son sucesos independientes.
d) Lanzamos un dardo sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad tenemos de alcanzar una casilla negra? ¿Y una blanca?
Pues por simetría la misma probabilidad de casilla blanca que negra: \( 1/2 \).
e) El mismo dardo se lanza ahora dos veces sobre el tablero. ¿Qué probabilidad hay de introducirlo en dos casillas del mismo color? ¿Y de una misma columna?
Los lanzamientos son sucesos independientes. La probabilidad de dos negros son: \( (1/2)^2 \) y dos blancos \( (1/2)^2 \). Por tanto mismo color:
\( (1/2)^2+(1/2)^2 \)
Por otra parte todas las columnas tienen la misma probabilidad. La probabilidad de que la segunda columna coincida con la primera es por tanto \( 1/8. \)
f) Se tira una moneda sobre el tablero de ajedrez. ¿Qué probabilidad hay de que caiga justamente dentro de una casilla sin cortar sus bordes? Se toma como diámetro de la moneda la cuarta parte de la longitud de una de las 64 casillas. Representar gráficamente la función que nos da la probabilidad pedida dependiendo del diámetro de la moneda y suponiendo fijo el lado de la casilla.
Usamos probabilidad geométrica.
Suponiendo que el centro de la moneda cae de manera equiprobable sobre cualquier posición de una casilla, si la moneda tiene diámetro \( d \) y cada casilla lado \( L \), para que la moneda no toque al borde su centro debe de estar en el cuadrado de lado \( L-d \) centrado en la casilla.
Por tanto la probabilidad de que no toque es:
\( \dfrac{(L-d)^2}{L^2} \)
He de irme ahora...
Saludos.
