Autor Tema: Encontrar las componentes de un vector

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06 Junio, 2019, 03:40 am
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natydlv

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Hola compañeros, tengo un ejercicio que no entiendo como trabajarlo... alguna ayuda?

Si \( \vec{u}=(\sqrt[ ]{3},1) \) y \(  \left\|{\vec{v}}\right\|=2 \) y el angulo entre \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) es \( \displaystyle\frac{pi}{6} \) hallar las componentes de \( \vec{v} \)

06 Junio, 2019, 04:20 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

El ángulo entre u y el eje x es de \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \)

Puede ayudarte calcular el ángulo que debería haber entre v y el eje x para que el ángulo entre u y v sea \( \displaystyle\frac{\pi}{6} \)


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

06 Junio, 2019, 04:32 am
Respuesta #2

natydlv

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Hola ingmarov, no logro comprenderte... probablemente estas hablando de algún concepto que todavía no me han dado.. tengo que trabajarlo con algo de lo siguiente: suma de vectores, producto de un escalar por un vector, producto escalar y producto vectorial

06 Junio, 2019, 04:54 am
Respuesta #3

ingmarov

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Editado

Pues si graficas el vector en un plano cartesiano, trazas la vertical desde el extremo del vector al eje x, entonces tienes un triangulo rectángulo.
El ángulo \( \theta \) entre el eje x y la hipotenusa (el vector u) esta dado por

\( \vec{u}=({\color{blue}\sqrt{3}},{\color{red}1}) \)

\( tan(\theta)=\displaystyle\frac{\color{red}1}{\color{blue}\sqrt{3}} \)

\( \Rightarrow \theta=\displaystyle arctan(\frac{1}{\sqrt[]{3}}) \)

¿Sabes sobre cosenos directores?

Podrías también utilizar

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|cos(\varphi) \)             Donde    \( \varphi \)  es el ángulo entre u y v.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

06 Junio, 2019, 05:30 am
Respuesta #4

natydlv

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Veamos si llego a algo...

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}= \left\|{\vec{u}}\right\|\cdot{ \left\|{\vec{v}}\right\|}\cdot{cos (\displaystyle\frac{π}{6})} \)

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=2\cdot{2}\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}} \)

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=2\sqrt[ ]{3} \)

considero \( \vec{v}=(v_1,v_2) \)

luego \( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=(\sqrt[ ]{3},1)\cdot{(v_1,v_2)}\Rightarrow{\vec{u}\cdot{\vec{v}}}=(v_1\cdot{\sqrt[ ]{3}}, v_2) \)

hasta aquí llego...

06 Junio, 2019, 05:52 am
Respuesta #5

manooooh

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Hola!

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}= \left\|{\vec{u}}\right\|\cdot{ \left\|{\vec{v}}\right\|}\cdot{cos (\displaystyle\frac{π}{6})} \)

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=2\cdot{2}\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}} \)
(...)

Todo lo del spoiler está mal, no leí que el dato era \( \|\vec{v}\|=2 \):

Spoiler
¿Por qué reemplazás \( \|\vec{v}\| \) por \( 2 \)? No es dato eso. Vos sabés que \( \vec{v}=(v_1,v_2) \), entonces \( \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\neq2 \).

Entonces:

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\sqrt{v_1^2+v_2^2}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\implies(\sqrt{3},1)\cdot(v_1,v_2)=\sqrt{3}\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{3v_1^2+3v_2^2}, \)

entonces

\( \sqrt{3}v_1+v_2=\sqrt{3v_1^2+3v_2^2}\implies3v_1^2+2\sqrt{3}v_1v_2+v_2^2=3v_1^2+3v_2^2\implies\sqrt{3}v_1v_2=v_2^2, \)

de donde \( v_2=0 \) verifica para todo \( v_1 \), en consecuencia

\( \sqrt{3}v_1=v_2. \)

Por tanto el vector pedido \( \vec{v} \) es \( (v_1,v_2)=(v_1,\sqrt{3}v_1)=v_1(1,\sqrt{3}) \).

Andá probando con distintos valores de \( v_1 \) (es una constante real) para verificar que se cumple todo lo pedido. Incluso podés probar con \( \vec{v}=\vec0 \) es decir \( v_1=0 \).
[cerrar]

Saludos

EDIT

06 Junio, 2019, 06:44 am
Respuesta #6

natydlv

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Hola manoooooh, el 2 lo obtengo dado que \( \vec{u}=(\sqrt[ ]{3},1)\Rightarrow{ \left\|{\vec{u}}\right\|}=\sqrt[ ]{{(\sqrt[ ]{3})}^2+1}=2 \)


06 Junio, 2019, 06:56 am
Respuesta #7

manooooh

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Hola

Hola manoooooh, el 2 lo obtengo dado que \( \vec{u}=(\sqrt[ ]{3},1)\Rightarrow{ \left\|{\vec{u}}\right\|}=\sqrt[ ]{{(\sqrt[ ]{3})}^2+1}=2 \)

Perdón, me equivoqué yo, no leí el enunciado. Está bien lo que hiciste.

Esta implicación en rojo no está bien:

Veamos si llego a algo...

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}= \left\|{\vec{u}}\right\|\cdot{ \left\|{\vec{v}}\right\|}\cdot{cos (\displaystyle\frac{π}{6})} \)

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=2\cdot{2}\cdot{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}} \)

\( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=2\sqrt[ ]{3} \)

considero \( \vec{v}=(v_1,v_2) \)

luego \( \vec{u}\cdot{\vec{v}}=(\sqrt[ ]{3},1)\cdot{(v_1,v_2)}\color{red}\pmb{\Rightarrow}\color{black}\vec{u}\cdot{\vec{v}}=(v_1\cdot{\sqrt[ ]{3}}, v_2) \)

Tenés \( \vec{u}\cdot\vec{v} \), ¡es un producto escalar entre vectores! Recordá que \( \vec{a}\cdot\vec{b}=(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2 \).

Entonces

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=(\sqrt{3},1)\cdot(v_1,v_2)=\sqrt{3}v_1+v_2, \)

que es igual a

\( \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}. \)

Combinando,

\( \sqrt{3}v_1+v_2=2\sqrt{3}\implies v_2=2\sqrt{3}-\sqrt{3}v_1\therefore\boxed{\vec{v}=(v_1,2\sqrt{3}-\sqrt{3}v_1)} \)

(esta vez comprobado ;)).

Saludos

06 Junio, 2019, 08:23 am
Respuesta #8

natydlv

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Pero sigo sin obtener el valor de la componente \( v_1 \)

06 Junio, 2019, 09:51 am
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Pero sigo sin obtener el valor de la componente \( v_1 \)

Utiliza que \( \|v\|=2 \). Es decir supuestas buenas las cuentas de manooooh (no las he comprobado pero confío en él  ;))

\( \|(v_1,2\sqrt{3}-\sqrt{3}v_1)\|=2 \)

o equivalentemente:

\( v_1^2+(2\sqrt{3}-\sqrt{3}v_1)^2=4 \)

Resuelve y termina...

Saludos.

18 Junio, 2019, 08:15 pm
Respuesta #10

natydlv

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Ya entendí! Gracias Manooooh, Ingmarov y Luis Fuentes