Autor Tema: Resolución de una serie

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05 Junio, 2019, 02:54 am
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jwalsh

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Analizar la convergencia de la serie de término general:

\( \displaystyle\sum _{n=1}^{\infty } \displaystyle \dfrac{n^{2n}}{3^ n \cdot  (2n)!}  \)

Sin utilizar el ratio de convergencia.
Me lo tomaron en un examen, y creo que la resolución no estaba dentro de lo visto en la materia.

Alguien que pueda ayudarme!
muchas gracias!

05 Junio, 2019, 04:05 am
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Bienvenido al foro jwalsh.

Recuerda mirar Reglas del foro
Para que tenga sentido la serie tiene que empezar en \(  n= 1   \).
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{n^{2n}}{3^n \cdot 2 \cdot n}  \)
Tienes que \(  n^{2n} = n^n \cdot n^n  \) te queda:
\( \displaystyle  \dfrac{n^{n}}{3^n} \cdot \dfrac{n^n}{ 2 \cdot n}  \) mira que pasa para \( n \geq 3  \)

05 Junio, 2019, 04:17 am
Respuesta #2

jwalsh

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Ahi adjunte la image, faltaba el factorial. y no logro resolverla aun.

05 Junio, 2019, 04:37 am
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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Queda si no tengo error:
\( \displaystyle \dfrac{n^{2n}}{3^ n \cdot  (2n)!} = (\dfrac{n}{3})^n \cdot (\dfrac{1}{2})^n \cdot \dfrac{(2n)^n}{(2n)!}  \)

05 Junio, 2019, 08:03 am
Respuesta #4

manooooh

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Hola Juan Pablo

Queda si no tengo error:
\( \displaystyle \dfrac{n^{2n}}{3^ n \cdot  (2n)!} = (\dfrac{n}{3})^n \cdot (\dfrac{1}{2})^n \cdot \dfrac{(2n)^n}{(2n)!}  \)

Está bien.

Siempre que quieras verificar alguna igualdad con variables o números podés usar WolframAlpha a través de la palabra "is". Por ejemplo: is (n^(2n))/(3^n*(2n)!) = ((n/3)^n)*((1/2)^n)*(((2n)^n)/((2n)!))? retornará que \( \displaystyle \dfrac{n^{2n}}{3^ n \cdot  (2n)!} = (\dfrac{n}{3})^n \cdot (\dfrac{1}{2})^n \cdot \dfrac{(2n)^n}{(2n)!}  \) es siempre verdadero.

Saludos

05 Junio, 2019, 09:44 am
Respuesta #5

Masacroso

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Analizar la convergencia de la serie de término general:

\( \displaystyle\sum _{n=0}^{\infty }\:\left(n^{\left(2n\right)}\right)/\left(\left(3^n\right)\left(2n\right)!\right) \)


Sin utilizar el ratio de convergencia.
Me lo tomaron en un examen, y creo que la resolución no estaba dentro de lo visto en la materia.

Alguien que pueda ayudarme!
muchas gracias!


¿Y puedes usar el test de la raíz? Porque si es así podrías probar con la aproximación asintótica de Stirling para el factorial y el test de la raíz.

Spoiler
La expresión asintótica de Stirling es \( n!\sim_\infty\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}e\right)^n \). Y usando el test de la raíz queda

\( \displaystyle \sqrt[n]{ \frac{n^{2n}}{3^n(2n)!} }=\frac{n^2}{3\sqrt[n]{(2n)!}}\sim_\infty\frac{n^2}3\cdot\frac{e}{n}\cdot\left(\frac1{\sqrt[n]{2\pi n}}\right)^{1/2}\sim_\infty n\cdot\frac{e}3\to\infty \)

ya que \( \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a n}=1 \) para todo \( a>0 \).
[cerrar]

Igualmente la respuesta de Juan Pablo me gusta más, es más elemental.

05 Junio, 2019, 11:07 am
Respuesta #6

feriva

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Ahi adjunte la image, faltaba el factorial. y no logro resolverla aun.

Hola.

También puede usar el criterio de D'Alembert, pero más pesado

No, esto sirve desde n=1, no me había fijado

Spoiler

Tomamos el enésimo término para “n+1” y lo dividimos por el término para “n”:

\( \dfrac{(n+1)^{2(n+1)}}{3^{(n+1)}(2(n+1))!}\div\dfrac{n^{2n}}{3^{n}(2n)!}=
  \)

Vamos operando despacito.

\( \dfrac{(n+1)^{2(n+1)}\cdot3^{n}(2n)!}{3^{(n+1)}(2(n+1))!\cdot n^{2n}}=
  \)

\( \dfrac{(n+1)^{2n+2}\cdot(2n)!}{3(2(n+1))!\cdot n^{2n}}=
  \)

\( \dfrac{(n+1)^{2n}\cdot(n+1)^{2}\cdot(2n)!}{3(2n+2)!\cdot n^{2n}}=
  \)

\( \dfrac{(n+1)^{2n}\cdot(n+1)^{2}}{3(2n+1)(2n+1)\cdot n^{2n}}=
  \)

\( \dfrac{(n+1)^{2}}{3(2n+1)(2n+1)}\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{2n}=
  \)

\( \dfrac{n^{2}+1+2n}{3(4n^{2}+4n+1)}\cdot\left(\dfrac{1+\dfrac{1}{n}}{1}\right)^{2n}
  \)

Dividiendo entre “n” cuadrado el primer factor se ve claro que el límite cuando “n” tiende a infinito es menor que 1; y el límite del otro factor es 1. Por tanto, por el criterio de D'Alembert converge (si no me he equivocado).

[cerrar]

Saludos.