Autor Tema: Duda conceptual recorrido de una función

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05 Junio, 2019, 02:20 am
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mathtruco

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Hola. Planteo la siguiente inquietud.

Dada la función \( f(x)=\sqrt{1-e^{-x^2}} \),

    \( \textrm{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}:f(x)\in\mathbb{R}\} \)

                  \( =\{x\in\mathbb{R}:\sqrt{1-e^{-x^2}}\in\mathbb{R}\} \)

                  \( =\{x\in\mathbb{R}:1-e^{-x^2}\geq 0\} \)

es decir,

    \( x\in\textrm{dom}(f)\quad\Leftrightarrow\quad 1-e^{-x^2}\geq 0 \)    (*)


Entonces

    \( y\in\textrm{Rec}(f)\quad\Leftrightarrow\quad y=\sqrt{1-e^{-x^2}},\; x\in \textrm{dom}(f) \)

                            \( \Leftrightarrow\quad y^2=1-e^{-x^2},\; y\geq 0,\; x\in \textrm{dom}(f) \)

y usando (*)

    \( y\in\textrm{Rec}(f)\quad\Leftrightarrow\quad y^2=1-e^{-x^2},\; y\geq 0,\; 1-e^{-x^2}\geq 0 \)

                            \( \Leftrightarrow\quad y^2\geq 0,\; y\geq 0 \)     (acá está el paso en falso)

                            \( \Leftrightarrow\quad y\geq 0 \)


Claramente está malo. Sé resolverlo correctamente, y veo dónde está el error, pero no termino de convencerme porqué este procedimiento está malo. Si alguien me ayuda a aclararlo lo agradezco mucho.

05 Junio, 2019, 04:28 am
Respuesta #1

delmar

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Hola mathtruco

En efecto, el paso señalado con negrita, es el incorrecto. El problema esta en el \( \Leftrightarrow{} \) en realidad es \( \Rightarrow{} \). Explicando \( y^2\geq{0}, \ y\geq{0} \) no implica \( y^2=1-e^{-x^2} \). Por ejemplo un \( y>1 \) como 2, se tiene \( 2^2\geq{0}, \ 2\geq{0} \), pero No \( \exists{x}\in{R} \ : \ 2^2=1-e^{-x^2} \), en consecuencia esa afirmación no es cierta.


Saludos

06 Junio, 2019, 06:27 am
Respuesta #2

mathtruco

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Toda la razón Delmar, gracias por la aclaración.

06 Junio, 2019, 06:41 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Gracias a la pregunta de mathtruco me ha surgido otra, que creo que es obvia o que ya ha sido respondida anteriormente (admins, ¡no me maten!):

¿Para resolver una ecuación son necesarias y suficientes coimplicaciones? Es decir, ¿solamente debemos usar coimplicaciones?

Porque con el ejemplo que da mathtruco y la solución que aporta delmar, tenemos todas coimplicaciones salvo una, y esa que nos falta es la que invalida la respuesta.

Gracias!
Saludos

06 Junio, 2019, 07:41 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola


¿Para resolver una ecuación son necesarias y suficientes coimplicaciones? Es decir, ¿solamente debemos usar coimplicaciones?

Se pueden utilizar implicaciones si uno es consciente de lo que esto conlleva, de que pueden aparecer soluciones "fantasmas".

El ejemplo típico es, en ecuaciones que involucran raíces, usar:

\( f(x)=g(x)\qquad \Longrightarrow{}\qquad f(x)^2=g(x)^2 \)

La ecuación de la derecha puede tener soluciones que no satisfacen la inicial; lo que se suele hacer es resolverla y luego verificar si realmente los valores obtenidos son solución del problema de partida.

Saludos.