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04 Junio, 2019, 05:05 am
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Carlei

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
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Hola
Traigo un problema un poco más complicado.
1. Para cada medida exterior [texx]\varrho: 2^\Omega \rightarrow [0,+\infty] [/texx] , la medida [texx] \varrho |_{F(\varrho)}: F(\varrho)\rightarrow [0,+\infty]  [/texx] es completa.
Sé que una función de conjuntos [texx] \mu:C \rightarrow [0,+\infty] [/texx] se llama completa, cuando [texx]\forall A \in C [/texx] con [texx]\mu(A)=0 , \forall B \subseteq A [/texx] se cumple que [texx] B \in C [/texx].
Por otro lado, para cada medida exterior [texx]\varrho: 2^\Omega \rightarrow [0,+\infty] [/texx] definimos,
[texx] F(\varrho)[/texx]:= {[texx] A \in 2^\Omega | \forall E \in 2^\Omega [/texx] se cumple que [texx] \varrho(E)= \varrho(E\cap A) + \varrho(E\setminus A) [/texx]}

04 Junio, 2019, 05:31 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola
Traigo un problema un poco más complicado.
1. Para cada medida exterior [texx]\varrho: 2^\Omega \rightarrow [0,+\infty] [/texx] , la medida [texx] \varrho |_{F(\varrho)}: F(\varrho)\rightarrow [0,+\infty]  [/texx] es completa.
Sé que una función de conjuntos [texx] \mu:C \rightarrow [0,+\infty] [/texx] se llama completa, cuando [texx]\forall A \in C [/texx] con [texx]\mu(A)=0 , \forall B \subseteq A [/texx] se cumple que [texx] B \in C [/texx].
Por otro lado, para cada medida exterior [texx]\varrho: 2^\Omega \rightarrow [0,+\infty] [/texx] definimos,
[texx] F(\varrho)[/texx]:= {[texx] A \in 2^\Omega | \forall E \in 2^\Omega [/texx] se cumple que [texx] \varrho(E)= \varrho(E\cap A) + \varrho(E\setminus A) [/texx]}

¿Y cuál es la pregunta? Lo que pones arriba son resultados básicos de teoría de la medida (no sé qué relación podrán tener con topología algebraica).

04 Junio, 2019, 05:56 am
Respuesta #2

Masacroso

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hola
seguro me equivoque al colocar la clasificación, por asi decirlo.
El tema es que nose como demostrar lo que sale en el 1, nose ensamblar lo que coloque mas abajo de manera que sea claro y breve.

(1) es consecuencia del teorema de Carathéodory, en el capítulo 4 de éste PDF (en concreto en la página 124) puedes ver una demostración de lo que buscas.

También tienes otra demostración aquí.




04 Junio, 2019, 06:57 am
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias
Saludos
Disculpa que te moleste nuevamente. Pero en el caso de este ejercicio:
Caratheodory: Sea [texx] H\subseteq 2^\Omega[/texx] un semi-anillo y sea [texx] \mu:H \rightarrow [0,+\infty] [/texx] una medida  [texx]\sigma[/texx]-finita. Entonces existe una única medida [texx]\widetilde{\mu}:F(\mu^*) \rightarrow [0,+\infty] [/texx] con [texx]\widetilde{\mu}|_H = \mu[/texx]. La medida de [texx]\widetilde{\mu} [/texx] es [texx]\sigma[/texx]-finita y se cumple que [texx]\widetilde{\mu}[/texx]=[texx]\mu^* |_{F(\mu^*)} [/texx]

¿Como debería hacerlo?

Te basta con demostrar que la medida exterior \( \mu^* \) inducida por \( \mu \) es única y cumple con lo dicho, es decir que \( \mu^*|_H=\mu \), y que por supuesto \( H\subset F(\mu^*) \).

Supongo que para el ejercicio dispondrás de la noción de medida exterior inducida a partir de una medida en una colección arbitraria de conjuntos, pues aplica esa definición usando el semi-anillo.

La próxima vez si tienes una pregunta nueva mejor abre otro hilo, si no llego a pasarme de nuevo por aquí no me habría enterado que volvías a preguntar.