Autor Tema: Continuidad de funciones

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03 Junio, 2019, 04:49 am
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RodriStone

  • $$\Large \color{red}\pi$$
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Hola, necesito ayuda con este problema :
Sea f una función continua en los reales. Probar que la gráfica de la función, es un subconjunto cerrado de \( \mathbb{R}^2 \)

Agradecería una ayuda, y perdón los errores de tipeo

03 Junio, 2019, 07:58 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, necesito ayuda con este problema :
Sea f una función continua en los reales. Probar que la gráfica de la función, es un subconjunto cerrado de \mathbb{}^2

Agradecería una ayuda, y perdón los errores de tipeo

Sería suficiente con demostrar que cada punto de la gráfica de \( f \), llamémosla \( G \), es un punto límite, es decir, que para cada \( h\in G \) existe una sucesión \( \{h_n\}_{n\in\Bbb N} \) contenida en \( G \) cuyo límite es \( h \).

Como \( f \) es una función contínua te resultará casi inmediato demostrar que cada punto de \( G \) es un punto límite y, por tanto, \( G \) es cerrado en \( \Bbb R^2 \).

03 Junio, 2019, 10:00 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Sería suficiente con demostrar que cada punto de la gráfica de \( f \), llamémosla \( G \), es un punto límite, es decir, que para cada \( h\in G \) existe una sucesión \( \{h_n\}_{n\in\Bbb N} \) contenida en \( G \) cuyo límite es \( h \).

Ojo. No es eso. Es probar que todo punto que sea un punto límite de \( G \), está en \( G \).

Spoiler
Si \( (x,y)\in \bar G \) existe una sucesión \( \{(x_n,y_n)\}\subset G \) tal que:

\( \{(x_n,y_n)\}\to (x,y) \) ó equivalentemente \( \{x_n\}\to x,\qquad \{y_n\}\to y \)

Como \( \{(x_n,y_n)\}\subset G \) entonces \( y_n=f(x_n) \) y por ser continua es secuencialmente y continua y:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(x_n)=f\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n\right)=f(x) \)

Por tanto \( (x,y)=(x,f(x))\in G \).
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Saludos.

03 Junio, 2019, 10:50 am
Respuesta #3

Masacroso

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Hola

Sería suficiente con demostrar que cada punto de la gráfica de \( f \), llamémosla \( G \), es un punto límite, es decir, que para cada \( h\in G \) existe una sucesión \( \{h_n\}_{n\in\Bbb N} \) contenida en \( G \) cuyo límite es \( h \).

Ojo. No es eso. Es probar que todo punto que sea un punto límite de \( G \), está en \( G \).

Spoiler
Si \( (x,y)\in \bar G \) existe una sucesión \( \{(x_n,y_n)\}\subset G \) tal que:

\( \{(x_n,y_n)\}\to (x,y) \) ó equivalentemente \( \{x_n\}\to x,\qquad \{y_n\}\to y \)

Como \( \{(x_n,y_n)\}\subset G \) entonces \( y_n=f(x_n) \) y por ser continua es secuencialmente y continua y:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(x_n)=f\left(\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_n\right)=f(x) \)

Por tanto \( (x,y)=(x,f(x))\in G \).
[cerrar]

Saludos.

Ah, cierto... vaya despiste.