Autor Tema: Demostrar que es de Equivalencia

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31 Mayo, 2019, 02:18 am
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AveFenix

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Estoy entrando al Área de Particiones, soy muy nuevo
Aquí pidiendo ayuda a los Genios.

En \( \mathbb{R}^2 \) se define la relación \( \sim \) de acuerdo a: \( (x,y)\sim{(x',y')\iff {|x|+|y|=|x'|+|y'|}} \)

a. Probar que es de equivalencia

b. Hallar \( K_{(0,0)},K_{(1,0)} \)\( K_{(a,0)} \)con a>0.

c. Representar las clases gráficamente.


a- Intento de probar que es de equivalencia  ::)

Refleja:

\( |x|+|y|=|x|+|y| \) por lo tanto \( aRa \) ??


Simétrica: \( a\sim{b\rightarrow{b\sim{a}}} \)

\( |x|+|y|=|x′|+|y′| \rightarrow{} |x′|+|y′|=|x|+|y| \rightarrow{bRa}  \)

Transitiva: \(  a∼b\wedge \)\( b∼c\rightarrow{a\sim{c}} \) (me confundí)

\( aRb \)       \( |x|+|y|=|x'|+|y'| \)
\( bRc \)      \( |x'|+|y'|=|x''|+|y''| \)
           __________________________

                   \( |x|+|y|=|x''|+|y''| \)  \( a\sim{c} \) ?




Bien o me equivoqué? y la parte B Las clases como serían dado el caso? en este ejemplo.  Mejor dicho, cómo identificar las clases en cualquier tipo de ejercicio?

Mil gracias.
Estudiar Matemáticas se volvió una pasión, que me duele la cabeza ^^.
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31 Mayo, 2019, 07:36 am
Respuesta #1

feriva

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Perdona, que he visto una relación distinta, he dormido sólo unas horas hoy y no pude ser


Bueno, si te sirve, la relación que había creído ver, o he cambiado en mi cabez al leer, era ésta \( x+y'=y+x'
  \)


Spoiler

No he puesto los valores absolutos, pero ya los pones tú

1ª \( (\forall(x,y)):\, x+y=y+x\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(y,x)
  \)

2ª \( (x,y)\mathcal{R}(x',y')\Rightarrow x+y'=y+x'\Rightarrow x'+y=y'+x\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(x',y')
  \)

3ª\( (x,y)\mathcal{R}(x',y')\wedge(x',y')\mathcal{R}(u,v)\Rightarrow x+y'=y+x'\Rightarrow x'+v=y'+u\Rightarrow
  \)

\( x+y'+x'+v=y+x'+y'+u\Rightarrow x+v=y+u\Rightarrow(x,y)\mathcal{R}(u,v)
  \)

[cerrar]

Saludos.

31 Mayo, 2019, 10:24 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Bien o me equivoqué? y la parte B Las clases como serían dado el caso? en este ejemplo.  Mejor dicho, cómo identificar las clases en cualquier tipo de ejercicio?

Tienes bien las demostraciones. En cuanto a las clases te doy una pista con un esquema. Puedes mover el valor de \( a \) en la barra:


En realidad a efectos operativos no es más que aplicar la definición. Para \( a>0 \):

\( K_{(a,0)}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2||x|+|y|=a\} \)

Intenta algo y si no te sale pregunta.

Saludos.

01 Junio, 2019, 04:43 am
Respuesta #3

AveFenix

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Escribo para que revisen:

\( K(a,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=a} \)

\( K(1,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=1} \)   No se si es valido escribir que sus intersecciones x e y son :
                                                                 x(1,0);(-1,0) , y (0,1);(0,-1)  y su gráfico quedaría similar al que pusiste.

\( K(0,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=0} \)  Pues Aquí simplemente quedaría x(0,0) y y(0,0)

Me equivoque?
Estudiar Matemáticas se volvió una pasión, que me duele la cabeza ^^.
Nivel Principiante.

01 Junio, 2019, 07:45 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Escribo para que revisen:

\( K(a,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=a} \)

\( K(1,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=1} \)   No se si es valido escribir que sus intersecciones x e y son :
                                                                 x(1,0);(-1,0) , y (0,1);(0,-1)  y su gráfico quedaría similar al que pusiste.

Está bien; aunque no queda muy claro que quieres decir con sus intersecciones.

La mejor forma de describir la ecuación |x|+|y|=a es decir que:

- Cuando \( x\geq 0 \), \( y\geq 0 \) es el trozo de recta \( x+y=a \), es decir, el segmento que une \( (a,0) \) y\(  (0,a) \).
- Cuando \( x\geq 0 \), \( y\leq 0 \) es el trozo de recta \( x-y=a \), es decir, el segmento que une \( (a,0) \) y\(  (0,-a) \).
- Cuando \( x\leq 0 \), \( y\geq 0 \) es el trozo de recta \( -x+y=a \), es decir, el segmento que une \( (-a,0) \) y\(  (0,a) \).
- Cuando \( x\leq 0 \), \( y\leq 0 \) es el trozo de recta \( -x-y=a \), es decir, el segmento que une \( (-a,0) \) y\(  (0,-a) \).

Citar
\( K(0,0)={(x,y)∈R2||x|+|y|=0} \)  Pues Aquí simplemente quedaría x(0,0) y y(0,0)

 ¿Pero por qué lo repites dos veces? Sería simplemente el punto \( (0,0) \), es decir:

\( K(0,0)=\{(x,y)\in \Bbb R2||x|+|y|=0\}=\{(0,0)\} \)

Saludos.