Autor Tema: Números Reales

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22 Mayo, 2019, 01:58 am
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juanc

  • Aprendiz
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Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \[ a>0  \] existe \[ n \in{\mathbb{N}} \]
tal que \[ 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \]

22 Mayo, 2019, 02:27 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \[ a>0  \] existe \[ n \in{\mathbb{N}} \]
tal que \[ 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \]

¿Qué intentaste?

Dejemos fijo \[ a \]. Sabemos que \[ n\neq0 \]. Luego

\[ \displaystyle1-\frac{1}{n}<a\iff1-\frac{1}{n}-a<0\iff\frac{n-1-an}{n}<0, \]

y por la regla de los signos,

\[ (n-1-an>0\wedge n<0)\vee(n-1-an<0\wedge n>0). \]

La primera no tiene sentido pues afirma \[ n<0 \], y \[ n\in\Bbb N \]. Entonces \[ n-1-an=n(1-a)-1<0 \], de donde \[ 0<n<\frac{1}{1-a} \], lo cual es claramente cierto.

Saludos

22 Mayo, 2019, 04:39 am
Respuesta #2

feriva

  • Matemático
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  • ¡EUKERA!... ¡UEREKA!... ¡EUREKA! (corregido)
Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \[ a>0  \] existe \[ n \in{\mathbb{N}} \]
tal que \[ 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \]

Puedes verlo también directamente; si n=1

\[ 1-{\displaystyle \frac{1}{1}=0}
  \]

\[ 0<a
  \]

Existe con n=1

Saludos.

22 Mayo, 2019, 04:54 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
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Hola

 Me resulta raro el enunciado, porque la solución es simplemente la que expone feriva, basta tomar...

Existe con n=1

 Lo que hace manooooh me parece una complicación innecesaria y además al final, no queda claro cuando dice:

La primera no tiene sentido pues afirma \[ n<0 \], y \[ n\in\Bbb N \]. Entonces \[ n-1-an=n(1-a)-1<0 \], de donde \[ 0<n<\frac{1}{1-a} \], lo cual es claramente cierto.


 que se supone que es claramente cierto. Esa última desigualdad es cierta para \[ n=1 \]; para otros valores de \[ n \] depende de \[ a \]. Pero que para \[ n=1 \] se cumple la desigualdad lo sabíamos desde el principio.

Saludos.