Autor Tema: Números Reales

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

22 Mayo, 2019, 06:58 am
Leído 632 veces

juanc

  • Aprendiz
  • Mensajes: 343
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \( a>0  \) existe \( n \in{\mathbb{N}} \)
tal que \( 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \)

22 Mayo, 2019, 07:27 am
Respuesta #1

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,961
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \( a>0  \) existe \( n \in{\mathbb{N}} \)
tal que \( 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \)

¿Qué intentaste?

Dejemos fijo \( a \). Sabemos que \( n\neq0 \). Luego

\( \displaystyle1-\frac{1}{n}<a\iff1-\frac{1}{n}-a<0\iff\frac{n-1-an}{n}<0, \)

y por la regla de los signos,

\( (n-1-an>0\wedge n<0)\vee(n-1-an<0\wedge n>0). \)

La primera no tiene sentido pues afirma \( n<0 \), y \( n\in\Bbb N \). Entonces \( n-1-an=n(1-a)-1<0 \), de donde \( 0<n<\frac{1}{1-a} \), lo cual es claramente cierto.

Saludos

22 Mayo, 2019, 09:39 am
Respuesta #2

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,054
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola espero su ayuda en lo siguiente:
Sea \( a>0  \) existe \( n \in{\mathbb{N}} \)
tal que \( 1-\displaystyle\frac{1}{n}<a \)

Puedes verlo también directamente; si n=1

\( 1-{\displaystyle \frac{1}{1}=0}
  \)

\( 0<a
  \)

Existe con n=1

Saludos.

22 Mayo, 2019, 09:54 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,999
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Me resulta raro el enunciado, porque la solución es simplemente la que expone feriva, basta tomar...

Existe con n=1

 Lo que hace manooooh me parece una complicación innecesaria y además al final, no queda claro cuando dice:

La primera no tiene sentido pues afirma \( n<0 \), y \( n\in\Bbb N \). Entonces \( n-1-an=n(1-a)-1<0 \), de donde \( 0<n<\frac{1}{1-a} \), lo cual es claramente cierto.


 que se supone que es claramente cierto. Esa última desigualdad es cierta para \( n=1 \); para otros valores de \( n \) depende de \( a \). Pero que para \( n=1 \) se cumple la desigualdad lo sabíamos desde el principio.

Saludos.