[cibernarco]

1)Hallar el intervalo de convergencia.

a)\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{} \)\( \displaystyle\frac{(n-1)!. (x+2)^n}{2^n} \)
b)\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{} \)\( \displaystyle\frac{1}{n!}.(\displaystyle\frac{n}{a})^n \)

Hola, estoy teniendo incovenientes con estos ejercicios, espero puedan ayudarme.

[Bobby Fischer]

Hola,

\( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n!}(\dfrac{n}{a})^n \)

Aplicando el criterio de D'Alembert: https://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_d%27Alembert

\( \dfrac{x_{n+1}}{x_n}=\dfrac{\dfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!\cdot a^{n+1}}}{\dfrac{n^n}{n!\cdot a^n}}=(\dfrac{n+1}{n})^n\cdot \dfrac{1}{a}=(1+\dfrac{1}{n})^n\cdot \dfrac{1}{a}\xrightarrow[n\xrightarrow{}+\infty]\,{\dfrac{e}{a}} \)

Si \( \dfrac{e}{a}<1 \), la serie es convergente.

Si \( \dfrac{e}{a}>1 \), la serie es divergente.

Saludos.

[cibernarco]

!Genial entendí perfecto! ¿Si fuera igual a uno?  Como haría para estudiarla

[Bobby Fischer]

Según la página, "el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo".

De hecho, si lo aplicas a \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n}} \) y a \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\dfrac{1}{n^2}} \), en ambos casos el criterio da \( 1 \), sin embargo una serie es convergente y la otra no. Éste es el ejemplo que hace unos días se nos dio a nosotros en clase cuando se vieron series y su convergencia.

Saludos, que marche todo bien!