Autor Tema: Definir una transformación lineal con las siguientes condiciones

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17 Mayo, 2019, 22:55
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alucard

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Hola me  pueden indicar si este ejercicio lo pienso bien

Sea g una transformación lineal tal que

\[ g(x,y,z,w)=(x-y+w,-y+w,3x-4y+4w,2x-3y+3w) \]

Definir, si es posible una transformación lineal \[ h:R^4\to R^4 \] que cumpla simultaneamente

\[ Nu(h)\cap{}Im(h)=Nu(g)\cap Im(g) \]

\[ h(0,0,1-1)=h(-1,1,10) \] y la \[ dim(Nu(h))=2 \]
 
No entiendo bien cuando me indican esa intersección , se me ocurre pensar que si

\[ Nu(g)\cap Im(g)\to Nu(g)\subset{Im (g)}\Rightarrow{g(x,y,z,w)=(0,0,0,0)} \] de donde obtengo

\[ x=0\quad y=0\quad w=0\to Nu(g)\cap Im(g)=\left<{(0,0,z,0)}\right> \]

¿Es correcto?, luego de

\[ h(0,0,1-1)=h(-1,1,1,0)\to h(1,-1,0-1)=0_w \]

de donde h quedaría definida como

\[ h(-1,1,0,-1)=(0,0,0,0)\\h(0,0,1,0)=(0,0,0,0)\\h(1,0,0,0)=(-1,1,0-

1)\\h(0,0,0,1)=(0,0,1,0) \]

siendo los dos últimos vectores de V, los que agrego para poder definir h

Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

18 Mayo, 2019, 02:53
Respuesta #1

Masacroso

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Yo lo que haría, antes de nada, es estudiar a \[ g \]: de su definición sabemos que los vectores del núcleo de \[ g \] tienen la forma \[ (0,a,b,a) \] para \[ a,b\in\Bbb R \].

Ahora bien, la intersección de espacios vectoriales es un espacio vectorial por lo que hay que preguntarse, ¿hay algún vector del tipo \[ (0,a,b,a) \] en la imagen de \[ g \]? Si fuese así entonces la ecuación \[ x-y+w=0 \] debe cumplirse, y por tanto vectores de la forma \[ (0,-x,-x,-x) \] están en la imagen de \[ g \], es decir que \[ Nu(g)\cap Im(g)=\langle (0,1,1,1)\rangle \].

Ahora de la información que nos dan de \[ h \] tenemos que \[ (1,-1,0,-1)\in Nu(h) \], y como ese vector y \[ (0,1,1,1) \] son linealmente independientes entonces tenemos que \[ Nu(h)=\langle (0,1,1,1),(1,-1,0,-1)\rangle \] y además \[ (0,1,1,1)\in Im(h) \].

Para encontrar soluciones específicas bastaría con alargar la base del núcleo de \[ h \] hasta una base de \[ R^4 \] tipo \[ e_1,e_2,e_3,e_4 \], tal que \[ h(c_1 e_3+c_2 e_4)=(0,1,1,1) \] para algún par \[ c_1,c_2\in\Bbb R \], \[ h e_1=he_2=0 \] (con \[ e_1:=(0,1,1,1) \] y \[ e_2:=(1,-1,0,-1) \]) y además \[ h(r e_3+t e_4)= 0 \] si y solo si \[ s=t=0 \] (es decir: \[ h e_3 \] y \[ he_4 \] linealmente independientes entre sí).

21 Mayo, 2019, 19:14
Respuesta #2

alucard

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Gracias  , entonces lo que hice esta mal ?



Para encontrar soluciones específicas bastaría con alargar la base del núcleo de \[ h \] hasta una base de \[ R^4 \] tipo \[ e_1,e_2,e_3,e_4 \], tal que \[ h(c_1 e_3+c_2 e_4)=(0,1,1,1) \] para algún par \[ c_1,c_2\in\Bbb R \], \[ h e_1=he_2=0 \] (con \[ e_1:=(0,1,1,1) \] y \[ e_2:=(1,-1,0,-1) \]) y además \[ h(r e_3+t e_4)= 0 \] si y solo si \[ s=t=0 \] (es decir: \[ h e_3 \] y \[ he_4 \] linealmente independientes entre sí).

Esta parte no entiendo bien que es lo que hiciste 
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

22 Mayo, 2019, 05:36
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Gracias  , entonces lo que hice esta mal ?

Si, porque en ningún momento garantizas que \[ Nu(h)\cap{}Im(h)=Nu(g)\cap Im(g) \].

Además tu usas que:

Citar
\[ Nu(g)\cap Im(g)\to Nu(g)\subset{Im (g)}\Rightarrow{g(x,y,z,w)=(0,0,0,0)} \]

Pero esa implicación no tiene sentido. No hay porque exigir que el núcleo de \[ g \] esté contenido en la imagen.

Citar
Para encontrar soluciones específicas bastaría con alargar la base del núcleo de \[ h \] hasta una base de \[ R^4 \] tipo \[ e_1,e_2,e_3,e_4 \], tal que \[ h(c_1 e_3+c_2 e_4)=(0,1,1,1) \] para algún par \[ c_1,c_2\in\Bbb R \], \[ h e_1=he_2=0 \] (con \[ e_1:=(0,1,1,1) \] y \[ e_2:=(1,-1,0,-1) \]) y además \[ h(r e_3+t e_4)= 0 \] si y solo si \[ s=t=0 \] (es decir: \[ h e_3 \] y \[ he_4 \] linealmente independientes entre sí).

Esta parte no entiendo bien que es lo que hiciste 

Lo que dice Masacroso es lo siguiente. De lo que ha razonado hasta el momento sabe que:

\[ h(1,-1,0,-1)=(0,0,0,0) \]
\[ h(0,1,1,1)=(0,0,0,0) \]

Para completar la definición de h necesitas escoger dos vectores más \[ \{e_3,e_4\} \] que junto con \[ \{(1,-1,0,-1),(0,1,1,1)\} \] formen una base de \[ \mathbb{R}^4 \].

Uno de ellos debes de llevarlo al vector \[ (0,1,1,1) \] para garantizar que \[ (0,1,1,1)\in Nuc(h)\cap Im(h) \] y el otro en un vector distinto que no esté en el núcleo, para garantizar que de hecho:

\[ Nuc(h)\cap Im(h)=\langle (0,1,1,1)\rangle=Nuc(g)\cap Im(g) \]

Por ejemplo:

\[ h(1,-1,0,-1)=(0,0,0,0) \]
\[ h(0,1,1,1)=(0,0,0,0) \]
\[ h(0,0,1,0)=(0,1,1,1) \]
\[ h(0,0,0,1)=(0,0,0,1) \]


Saludos.

22 Mayo, 2019, 23:42
Respuesta #4

alucard

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Gracias , una consulta  mas 

Yo lo que haría, antes de nada, es estudiar a \[ g \]: de su definición sabemos que los vectores del núcleo de \[ g \] tienen la forma \[ (0,a,b,a) \] para \[ a,b\in\Bbb R \].



No entiendo como llego a esa relación osea por lo que leo hizo \[ g(x,y,z,w)=0_W \], yo hice lo mismo y no me quedaron esos valores  , obviamente hay algo que no estoy entendiendo bien  :banghead:
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23 Mayo, 2019, 02:40
Respuesta #5

Masacroso

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Gracias , una consulta  mas 

Yo lo que haría, antes de nada, es estudiar a \[ g \]: de su definición sabemos que los vectores del núcleo de \[ g \] tienen la forma \[ (0,a,b,a) \] para \[ a,b\in\Bbb R \].



No entiendo como llego a esa relación osea por lo que leo hizo \[ g(x,y,z,w)=0_W \], yo hice lo mismo y no me quedaron esos valores  , obviamente hay algo que no estoy entendiendo bien  :banghead:

De la definición de \[ g \] hay que hallar los vectores que la hacen nula, es decir, que hacen nula a cada una de sus coordenadas

\[ \displaystyle g(x,y,z,w)=(x-y+w,-y+w,3x-4y+4w,2x-3y+3w)=0\\
\iff -y+w=0\land x-y+w=0\iff w=y\land x=0\implies g(x,y,z,w)=0\iff (x,y,z,w)=(0,y,z,y) \]

23 Mayo, 2019, 07:47
Respuesta #6

alucard

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