Autor Tema: Demostrar que la matriz B es de permutación dado un conjunto de condiciones.

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18 Mayo, 2019, 01:45 am
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leonardo09

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Hola a todos, tengo este problema interesante.

sea \( e_n = (1,...,1)^{t} \) el vector de \( 1 \) de dimensión \( n \).

Sea una matriz \( B \) cuadrada de rango completo que cumple las siguientes propiedades.


1. \( B^{-1}e_n =e_n \)

(Editado)
2. Si \( \pi \) es un vector fila de probabilidad dado, \( \pi B \) también es un vector de probabilidad al menos para ese vector \( \pi \)

Demuestre si la matriz B cumple o no tenes las propiedades de ser una matriz estocástica, doblemente estocástica, de permutación u matriz ortogonal.

A primera vista para demostrar \( B \) que es estocástica solo basta demostrar que todas sus entradas son positivas.

para que la inversa sea estocástica entonces debe tener determinante 1

pero no tengo una demostración completa y por ello acudo a ustedes.

muchas gracias y queda abierto el problema.

nunca seré buen matemático

19 Mayo, 2019, 11:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola a todos, tengo este problema interesante.

sea \( e_n = (1,...,1)^{t} \) el vector de \( 1 \) de dimensión \( n \).

Sea una matriz \( B \) cuadrada de rango completo que cumple las siguientes propiedades.


1. \( B^{-1}e_n =e_n \)
2. Si \( \pi \) es un vector fila de probabilidad dado, \( \pi B \) también es un vector de probabilidad al menos para ese vector \( \pi \)

Demuestre si la matriz B cumple o no tenes las propiedades de ser una matriz estocástica, doblemente estocástica, de permutación u matriz ortogonal.

Me parece bastante extraño el enunciado de este ejercicio. ¿Seguro que es así?.

En primer lugar si \( B \) es inversible (y entiendo que lo es por decir que es de rango completo) la segunda condición no aporta nada; se obtiene de la primera sin más que multiplicar a ambos lados por \( B^{-1} \).

Por otro lado es muy fácil ver que esa condición es insuficiente para cualquiera de las matrices que se indican después.

Para que sea estocástica tiene que tener las entradas positivas; pero es muy fácil poner un ejemplo de matriz cumpliendo la condición indicada pero con alguna entrada negativa.

Y lo mismo para todas las demás condiciones.

Me suena raro.

Saludos.

19 Mayo, 2019, 06:56 pm
Respuesta #2

leonardo09

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Muchas gracias Luis Fuentes:

Puedo replantear nuevamente el problema, lo acabo de editar en el enuncidado arriba.

Escencialmente la pregunta es la siguiente.

sea un vector fila de probabilidad dado \( \pi \) y una matriz \( B \) que \( \pi B \) también es de probabilidad. Donde \( B e_n = e_n \). Esto quiere decir que \( B = B(\pi) \).

Busco demostrar la existencia de matriz \( B \), por otro lado demostrar la unicidad.

por otro lado considerar algunas propiedades de esta matriz \( B \) como lo son: estocástica, bi estocástica, ortogonalidad, permutación.

Notamos que una matriz estocástica cumple con ambas propiedades, también que una matriz de permutación. Lo que busco es ver si se puede obtener una forma general o un construir un contra ejemplo de lo propuesto.

gracias por la atención Luis.
nunca seré buen matemático

20 Mayo, 2019, 10:28 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Muchas gracias Luis Fuentes:

Puedo replantear nuevamente el problema, lo acabo de editar en el enuncidado arriba.

Escencialmente la pregunta es la siguiente.

sea un vector fila de probabilidad dado \( \pi \) y una matriz \( B \) que \( \pi B \) también es de probabilidad. Donde \( B e_n = e_n \). Esto quiere decir que \( B = B(\pi) \).

Busco demostrar la existencia de matriz \( B \), por otro lado demostrar la unicidad.

Las condiciones que pones siguen siendo muy débiles. La existencia es obvia, por ejemplo \( B=Id \), cumple lo que pides; pero también cualquier matriz estocástica y en particular una de permutación. Por tanto también es claro que no hay unicidad.

Creo que aun tienes que perfilar mejor tu problema.

Saludos.