Autor Tema: Espacios métricos

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17 Mayo, 2019, 08:10 pm
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cibernarco

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1)Hallar \( B_r (X) \) y \( \overline{B_r (X)} \) siendo (X,d) un espacio métrico discreto, \( d(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x=y\\1& \text{si}& x\neq{y}\end{cases} \).

2) Responder Vo F.Justificar.
Si (X,d) es un espacio metrico, y k pertenece a los reales,entonces el par (X,k.d) es un espacio metrico.

Para el punto 1) se me ocurría pensar en cual era la forma de los elementos de X que cumplen que están a menor distancia que r. Pero me cuesta un poco la escritura. Espero Puedan ayudarme.

Para el punto 2) se me ocurrio que por propiedad de los espacios métricos la distancia debe ser mayor o igual a cero, entonces el multiplicarla por un real negativo haría que esa propiedad no se cumpla. Por lo tanto es falso. ¿Esta bien?

18 Mayo, 2019, 01:15 am
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
1)Hallar \( B_r (X) \) y \( \overline{B_r (X)} \) siendo (X,d) un espacio métrico discreto, \( d(x,y)=\begin{cases} 0 & \text{si}& x=y\\1& \text{si}& x\neq{y}\end{cases} \).

Caso 1. \( 0 < r\le 1 \). Tenemos \( B_r(x_0)=\left\{{x\in X: d(x_0,x) < r}\right\}=\left\{{x_0}\right\} \). Por otra parte, si \( x\ne x_0 \) se verifica \( B_{1/2}(x)=\left\{{x}\right\} \) por tanto, \( B_{1/2}(x)\cap \{x_0\}=\emptyset \). Esto implica que si \( x\ne x_0 \) entonces, \( x\notin \overline{B_r(x_0)} \). Concluimos que \( \overline{B_r(x_0)}=\{x_0\} \).

Caso 2. \( r > 1 \). Tenemos \( B_r(x_0)=\left\{{x\in X: d(x_0,x) < r}\right\}=X \), por tanto \( \overline{B_r(x_0)}=\overline{X}=X \).

2) Responder Vo F.Justificar.
Si (X,d) es un espacio metrico, y k pertenece a los reales,entonces el par (X,k.d) es un espacio metrico.
Para el punto 2) se me ocurrio que por propiedad de los espacios métricos la distancia debe ser mayor o igual a cero, entonces el multiplicarla por un real negativo haría que esa propiedad no se cumpla. Por lo tanto es falso. ¿Esta bien?

Es correcto.