Autor Tema: Volumen parcial casquete esférico

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

17 Mayo, 2019, 04:16 pm
Leído 1204 veces

SergioTete

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 2
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Estimados,
buenos días, siempre he consultado este foro pero sin inscribirme, lo hice para plantear un problema que no puedo resolver y no encuentro en el foro.
Quiero calcular el volumen que surge entre un casquete esférico y un plano perpendicular variable.




{El casquete esférico lo puedo calcular como \( V=\dfrac{1}{3}\pi.h^2(3r-h) \)   Este casquete es cortado por un plano perpendicular M que varia entre los puntos A y B.
Lo que necesito calcular es el volumen dentro del casquete esférico pero solo por debajo del plano M.
En cuanto al uso es lo siguiente: el casquete esférico es el casquete de un tanque cilíndrico horizontal que contiene un liquido, el plano M representa el nivel del líquido. Y quiero calcular el volumen del casquete en función de la altura del liquido (zona amarilla).

Por favor agradecería su ayuda.
Gracias

19 Mayo, 2019, 04:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,771
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

23 Mayo, 2019, 03:05 pm
Respuesta #2

SergioTete

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 2
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Observo que la formula que ahi figura:

V=r2⋅L⋅arcos(r−h/r)+1/3.π⋅h2⋅(3r−h)

Tiene algun error, no da el volumen . Es decir si pongo la altura maxima, la altura es mayor al radio y el primer termino da negativo.
Invirtiendo esos terminos tampoco da, calculo el volumen y da algo menor que el cilindro solo despresiando los casquetes.

Ej.
Tanque de largo L=4.5
Radio r=1.25
Tanque totalmente lleno implica h=2.5

El primer termino es -11.044 o +11.044 (con h-r/r) y el segundo termino es 8.18. Total: 19.22

Si calculo solo el cilindro con π.r2.h= 22.089

sds y agradecere vuestra ayuda

23 Mayo, 2019, 04:28 pm
Respuesta #3

Masacroso

  • Héroe
  • Mensajes: 2,111
  • País: es
  • Karma: +4/-0
Te bastaría calcular la superficie de cada "loncha" del volumen resaltado en amarillo y luego "sumarlas" todas en una integral.

Empezamos por lo básico: la longitud de las cuerdas paralelas al diámetro de un círculo de radio \( R \) son iguales a \( 2R\cos\alpha \) donde \( R\sen\alpha=h \), y donde \( h \) es la altura que va desde el diámetro del círculo hasta la cuerda (paralela al diámetro), es decir que \( 2R\cos(\arcsin h/R)=2R\sqrt{1-(h/R)^2} \) es la longitud de la cuerda a altura \( h \) respecto del centro del círculo, por tanto la superficie de un trozo de círculo cortado a altura \( h_0 \) será la integral \( 2R\int_{h_0}^R\sqrt{1-(h/R)^2}\, dh \).

Entonces el volumen que buscas es la integral

\( \displaystyle\int_{t_0}^{H}\int_{h_0}^{R(t)} 2R(t)\sqrt{1-(h/R(t))^2}\, dh\, dt \)


con \( R(t):=H \sqrt{1-(t/H)^2} \) es el radio del círculo que queda al cortar la esfera a una altura \( t \) del centro de la esfera, donde \( H \) es el radio de la esfera. Ahí \( t_0 \) y \( h_0 \) determinan los dos planos de corte. Así planteada la integral parece intratable, habría que ver como queda en coordenadas esféricas o en coordenadas cilíndricas, o planteando la integral de otro modo.



ACTUALIZACIÓN: bueno, se puede hacer la sustitución obvia de \( R(t)\sen\alpha=h \) lo que simplifica la integral.

23 Mayo, 2019, 04:42 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,771
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Observo que la formula que ahi figura:

V=r2⋅L⋅arcos(r−h/r)+1/3.π⋅h2⋅(3r−h)

Tiene algun error, no da el volumen . Es decir si pongo la altura maxima, la altura es mayor al radio y el primer termino da negativo.
Invirtiendo esos terminos tampoco da, calculo el volumen y da algo menor que el cilindro solo despresiando los casquetes.

 No. El arcocoseno se mide en \( [0,\pi] \): nunca da negativo. La fórmula es:

\( V=r^2\cdot L\cdot arcos(\displaystyle\frac{r-h}{r})+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot h^2\cdot (3r-h) \)

 Cuando \( h=2r \) queda:

\( V=r^2\cdot L\cdot arcos(-1)+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot 4r^2\cdot r=r^2L\pi+\dfrac{4\pi r^3}{3} \)

 Es decir el volumen del cilindro más el volumen de la esfera.

 O por ejemplo cuando la altura está a la mitad, es decir, \( h=r  \)queda:

\( V=r^2\cdot L\cdot arcos(0)+\displaystyle\frac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot (2r)=\dfrac{r^2L\pi}{2}+\dfrac{2\pi r^3}{3} \)

 es decir la mitad de la anterior.

Saludos.

P.D. Por favor, recuerda poner las fórmulas en LaTeX.