[natydlv]

Hola compañeros me podran ayudar con este ejercicio? Saludos

Calcular \( {(1+i)}^{3523} \)

1) busco el modulo: \( {(\sqrt[ ]{2})}^{3523} \)

2) argumento \( (1+i)=\displaystyle\frac{pi}{4} \)

3) \( 0\leq{arg {(1+i)}^{3523}}<2pi\Rightarrow{0\leq{3523\cdot{\displaystyle\frac{pi}{4}}}+2\cdot{k}\cdot{pi}}<2pi \)

ahora entiendo que debo despejar \( k \) pero no se como hacerlo para que \( k=-440 \), \( k \) es entero

[Abdulai]

1) busco el modulo: \( {(\sqrt[ ]{2})}^{3523} \)

Mejor dejalo expresado como \( 2^{1721}\displaystyle\sqrt 2 \)

2) argumento \( (1+i)=\displaystyle\frac{pi}{4} \)

3) \( 0\leq{arg {(1+i)}^{3523}}<2pi\Rightarrow{0\leq{3523\cdot{\displaystyle\frac{pi}{4}}}+2\cdot{k}\cdot{pi}}<2pi \)

ahora entiendo que debo despejar \( k \) pero no se como hacerlo para que \( k=-440 \), \( k \) es entero

Calculás la parte entera de \( \left\lfloor{\dfrac{3523 \frac{\pi}{4}}{2\pi}}\right\rfloor = 440 \)

\( arg(1+i)^{3523} = 3523\frac{\pi}{4} - 440\;2\;\pi = \frac{3}{4}\pi \)

[natydlv]

Gracias Abdulai, lamentablemente no nos permiten trabajarlo de esa manera

[ingmarov]

Hola

Gracias Abdulai, lamentablemente no nos permiten trabajarlo de esa manera

Me parece raro que no te lo permitan.

Revisa si esto te sirve

\( 0\leq 3523\dfrac{\pi}{4}+2k\pi<2\pi \)

\( \Rightarrow 0\leq 880\cancel{\pi}+\dfrac{3\cancel{\pi}}{4}+2k\cancel{\pi}<2\cancel{\pi} \)

\( \Rightarrow -880-\dfrac{3}{4}\leq 2k<\bf -878-\dfrac{3}{4} \)

\( \Rightarrow -440-\dfrac{3}{8}\leq k<\bf -439-\dfrac{3}{8} \)

Cómo k es entero y está en ese intervalo, entonces.   k=-440

Saludos