Autor Tema: Serie de Fourier para una serie de funciones

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12 Mayo, 2019, 08:52 pm
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enrique-akatsuki

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De las ecuaciones 1) o 2) utilizar los valores adecuados de \( \theta \) generalmente \(  ( 0 ,\frac{\pi }{2},\pi ) \) para llegar a la ecuación indicada.

1)


\( f(\theta )=e^{b\theta }(-\pi <\theta <\pi ) \) | \( \frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta } \)


2)


\( f(\theta )=e^{b\theta }(0<\theta <2\pi ) \) | \( \frac{e^{2\pi b}-1}{2\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{in\theta }}{b-in} \)


Ecuación indicada: \( \sum_{1 }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+b^{2}}=\frac{\pi }{2b}csch(b\pi )-\frac{1}{2b^{2}} \)


Bueno yo inicie con la ecuación 1):


\( e^{b\theta }=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in\theta } \)


Si \( \theta =0 \)


\( e^{b(0)}=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}e^{in(0) } \)


\( 1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in} \)


Utilizando el conjugado del complejo:


\( 1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{b-in}\frac{b+in}{b+in} \)


\( 1=\frac{senh(b\pi )}{\pi }\sum_{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\frac{b+in}{b^{2}+n^{2}} \)


\( \pi csch(b\pi )=\sum_{-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\frac{b+in}{b^{2}+n^{2}} \)


Hasta aquí solo e llegado, nose si sea por la ecuación 1 llegar al resultado o por la ecuación 2, otra duda que tengo es que las sumatorias de las ecuaciones 1) y 2) tienden de \( (-\infty ,\infty )  \) y el del resultado la sumatoria tiende de \( (1,\infty ) \),  como hago para que las sumatorias de \( (-\infty ,\infty )  \) tiendan a \( (1,\infty ) \) , mi idea fue ver si las funciones eran par o impar pero como las dos son exponenciales no son pares ni impares, me pueden ayudar con mi problema de antemano gracias.