Autor Tema: Espacios Métricos

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12 Mayo, 2019, 04:30 pm
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cibernarco

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Sea \( C_\left\{{0,1}\right\}:[0,1]\longrightarrow{R} \) ,el conjunto de todas las funciones continuas definidas en [0,1] consideremos f y g en C[0,1] y definimos la función \( d: C_\left\{{0,1}\right\} \times C_\left\{{0,1}\right\}\longrightarrow{R^+} \) tal que: d(f,g)=\( \sup\left\{{\left |{f(x) -g(x)}\right |}\right\}: x\in{[0,1]} \)

a) Hallar \( d(f,g) \) y \( d(g,h) \) siendo \( f(x)=x \) , \( g(x)= x/4 +1/4 \)  , \( h(x)=x^2 \)

b) Probar que \( (C_\left\{{0,1}\right\},d) \) es un espacio métrico,sabiendo que para cualquier terna de funciones f,g y h del conjunto \(  C_\left\{{0,1}\right\}] \) se verifica que: \( d(f,g)\leq{d(f,h) + d(h,g)} \)

Buenas tardes!
Tengo este ejercicio para resolver y estoy teniendo algunos inconvenientes de cómo arrancar.
Espero puedan ayudarme.
Saludos

12 Mayo, 2019, 05:51 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
Un ayuda para empezar.

Sea \( C_\left\{{0,1}\right\}:[0,1]\longrightarrow{R} \) ,el conjunto de todas las funciones continuas definidas en [0,1] consideremos f y g en C[0,1] y definimos la función \( d: C_\left\{{0,1}\right\} X C_\left\{{0,1}\right\}\longrightarrow{R^+} \) tal que: d(f,g)=\( sup\left\{{\left |{f(x) -g(x)}\right |}\right\}: x\in{[0,1]} \)
a) Hallar d(f,g) y d(g,h) siendo f(x)=x , g(x)= x/4 +1/4  , \( h(x)=x^2 \)

Tenemos

          \( \displaystyle d(f,g)=\sup_{x\in [0,1]}\left|x-\frac{x}{4}-\frac{1}{4}\right|=\sup_{x\in [0,1]}\left|\frac{1}{4}(3x-1)\right|=\frac{1}{4}\sup_{x\in [0,1]}\left|3x-1\right|. \)

La función \( F(x)=|3x-1| \) es

          \( F(x)=\begin{cases} 1-3x & \text{si}& x \in [0,1/3]\\ 3x-1 & \text{si}& x\in (1/3,1]\end{cases} \)

Fácilmente demostrarás que su máximo (en consecuencia su supremo) es \( F(1)=2 \). Es decir, \( d(f,g)=\dfrac{1}{4}\cdot 2=\dfrac{1}{2}. \)