Autor Tema: Polinomios en Q[x]

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12 Mayo, 2019, 06:16 am
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Julio_fmat

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Sea \( f=x^3+2x^2-3x+5\in \mathbb{Q}\left[x\right] \) un polinomio con raices \( \alpha,\beta,\gamma. \) Encontrar el polinomio monico cuyas raices son \( \alpha \beta \), \( \alpha \gamma \), \( \beta \gamma. \)

Hola, lo desarrolle de esta forma. Como \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) son raices tenemos que

\( (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \). Es decir, el polinomio \( x^3-(\beta \gamma+\alpha \gamma +\alpha \beta)x^2+(\alpha \beta\gamma^2+\alpha \beta^2 \gamma +\alpha^2 \beta \gamma)x-\alpha^2 \beta^2 \gamma^2=0 \). La solucion dice que es el polinomio \( p(x)=x^3+3x^2+10x-25 \).
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12 Mayo, 2019, 07:58 am
Respuesta #1

hméndez

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Sea \( f=x^3+2x^2-3x+5\in \mathbb{Q}\left[x\right] \) un polinomio con raices \( \alpha,\beta,\gamma. \) Encontrar el polinomio monico cuyas raices son \( \alpha \beta \), \( \alpha \gamma \), \( \beta \gamma. \)

Hola, lo desarrolle de esta forma. Como \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) son raices tenemos que

\( (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \). Es decir, el polinomio \( x^3-(\beta \gamma+\alpha \gamma +\alpha \beta)x^2+(\alpha \beta\gamma^2+\alpha \beta^2 \gamma +\alpha^2 \beta \gamma)x-\alpha^2 \beta^2 \gamma^2=0 \). La solucion dice que es el polinomio \( p(x)=x^3+3x^2+10x-25 \).

De f por las relaciones de Cardano-Vieta https://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_de_Cardano-Vieta :

\( \alpha + \beta + \gamma=-2 \)

\( \alpha \beta+\alpha \gamma + \beta \gamma=-3 \)

\( \alpha \beta\gamma=-5 \)

Para el polinomio que buscas:

De la segunda puedes deducir el coeficiente del término de grado 2.
Multiplicando la primera y la tercera puedes deducir el coeficiente del término de grado 1.
Elevando al cuadrado la tercera puedes deducir el coeficiente del término de grado 0.

Saludos

13 Mayo, 2019, 10:40 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( f=x^3+2x^2-3x+5\in \mathbb{Q}\left[x\right] \) un polinomio con raices \( \alpha,\beta,\gamma. \) Encontrar el polinomio monico cuyas raices son \( \alpha \beta \), \( \alpha \gamma \), \( \beta \gamma. \)

Hola, lo desarrolle de esta forma. Como \( \alpha, \beta \) y \( \gamma \) son raices tenemos que

\( (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 \). Es decir, el polinomio \( x^3-(\beta \gamma+\alpha \gamma +\alpha \beta)x^2+(\alpha \beta\gamma^2+\alpha \beta^2 \gamma +\alpha^2 \beta \gamma)x-\alpha^2 \beta^2 \gamma^2=0 \). La solucion dice que es el polinomio \( p(x)=x^3+3x^2+10x-25 \).

Otra forma es notar que:

\( \alpha \beta=\dfrac{\alpha\beta\gamma}{\gamma}=\dfrac{-5}{\gamma} \)

\( \alpha \gamma=\dfrac{\alpha\beta\gamma}{\beta}=\dfrac{-5}{\beta} \)

\(  \beta\gamma=\dfrac{\alpha\beta\gamma}{\alpha}=\dfrac{-5}{\alpha} \)

Es decir las nuevas raíces son la inversa de las antiguas por \( -5 \). Por tanto basta hacer el cambio:

\( x=\dfrac{-5}{z} \)

y así:

\( p(z)=\dfrac{z^3}{5}f(-5/z) \)

Saludos.