Autor Tema: Serie de Fourier

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11 Mayo, 2019, 11:15 pm
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enrique-akatsuki

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\( f(\theta )=\begin{cases} (2a)^{-1} & { (|\theta |<a)} \\0 & {(a<|\theta |<\pi )}\end{cases} \)\( .....(1) \)


\( \frac{1}{2\pi }+\frac{1}{\pi }\sum_{1}^{\infty }\frac{sen(na)}{na}cos(n\theta ) \)\( .....(2) \)


Mi duda es esta, de la función (1) que es una función a trozos debo de llegar a la serie de Fourier de (2), pero mi única duda es que limites debo de escoger para llegar a la serie de fourier que me piden.

Lo que hice primero es encontrar en cosficiente \( {a}_{0 } \) asi que uso el coeficiente:

\( a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \)


\( a_{0}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\frac{1}{2a }dx \)



pero que limites debo de colocar en esta integral pata que llegue al coeficiente \( \frac{1}{2\pi } \) que esta en (2), me confunde el  \( (|\theta |<a) \)  de antemano muchas gracias

12 Mayo, 2019, 02:58 am
Respuesta #1

Masacroso

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El periodo de la extensión periódica de la función es \( 2\pi \), ya que el dominio de \( f \) es \( [-\pi,\pi] \). Entonces los coeficientes se pueden hallar así:

\( {\displaystyle a_{0}={\frac 2{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)dt,\qquad a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\cos (\omega _{n}t)dt,\qquad b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t)\sin (\omega _{n}t)dt} \)

donde \( T \) es el período de la extensión periódica de la función dada, en tu caso es \( 2\pi \), y \( t_0 \) es cualquier punto del dominio de la extensión periódica. Tomando \( t_0=-\pi \) no necesitas complicarte con la extensión periódica de la función y puedes usar directamente la definición de la función dada.

Por último \( \omega_n:=2\pi n/T \), es decir, en tu caso \( \omega_n=n \).

P.D.: aquí estoy considerando que la serie de Fourier tiene la forma \( \mathcal F(f):=\frac{a_0}2+\sum_{k=1}^\infty (a_k\cos (\omega_kt)+b_k\sen(\omega_k t)) \).