Hola
Si, es cierto. De manera más precisa \( 5^0 \) se define como \( 1 \). ¿Es una buena definición? Si, porque se consigue que las propiedades básicas de la potencia basadas en si definición más intuitiva como producto repetido de un mismo número, se cumplan para exponente cero.
Por ejemplo:
\( 5^a\cdot 5^b=5^{a+b} \)
("juega" tomando \( a=0 \), \( b=0 \) ó \( a=0 \), \( b\neq 0 \))
O también se consigue que la función \( 5^x \) sea continua, porque:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}5^x=1 \)
Debo obtener más conocimientos sobre conjuntos. ¿Me puedes explicar la cita?
No hace falta saber nada de conjuntos para lo anterior. Deberías de especificar que es lo que no entiendes; aun así aclaro más.
Simplemente digo que la definición mas intutiva de potencia para exponente \( n \) un número entero positivo es:
\( 5^n=\underbrace{5\cdot 5\cdot \ldots\cdot 5}_{n\textsf{ veces}} \)
Por ejemplo:
\( 5^2=5\cdot 5 \)
\( 5^3=5\cdot 5\cdot 5 \)
\( 5^1=5 \)
De ahí es inmediato que se cumple:
\( 5^n\cdot 5^m=5^{n+m} \)
ya que a la izquierda multiplicamos \( 5 \) por si mismo \( n \) veces; luego \( m \) veces más, luego en total \( n+m \) veces.
Ahora si uno quiere que eso se cumpla para \( n=0 \) tiene que ocurrir que:
\( 5^0\cdot 5^m=5^{0+m}=5^m \)
Por ejemplo para \( m=1 \):
\( 5^0\cdot 5^1=5^1 \)
\( 5^0\cdot 5=5 \)
y entonces necesariamente \( 5^0=1 \).
Saludos.
