Autor Tema: Funciones no analíticas

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10 Mayo, 2019, 11:13 pm
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siempredannie

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Estoy buscando ejemplos de funciones continuamente diferenciables pero no analíticas y encontré esta:

\( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Y dice lo siguiente:
" Esta función es infinitamente derivable para cualquier \(  x\in{\mathbb{R}}  \) , y en particular todas sus derivadas en \( 0 \) son nulas: \( f(n)(0) = 0 \) . Por tanto, su serie de Taylor alrededor de \( 0 \) es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Además, la serie de Taylor de la función \( f \) en el origen en cualquier punto converge a la función cero. "

Entiendo la parte de que la función es infinitamente derivable
Pero no la parte en la que habla sobre la serie de Taylor.

Alguien me podría ayudar a entender por qué esta función no se puede expresar como una serie de potencias?
Por favor, gracias.



10 Mayo, 2019, 11:44 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Estoy buscando ejemplos de funciones continuamente diferenciables pero no analíticas y encontré esta:

\( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Y dice lo siguiente:
" Esta función es infinitamente derivable para cualquier \(  x\in{\mathbb{R}}  \) , y en particular todas sus derivadas en \( 0 \) son nulas: \( f(n)(0) = 0 \) . Por tanto, su serie de Taylor alrededor de \( 0 \) es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Además, la serie de Taylor de la función \( f \) en el origen en cualquier punto converge a la función cero. "

Entiendo la parte de que la función es infinitamente derivable
Pero no la parte en la que habla sobre la serie de Taylor.

Alguien me podría ayudar a entender por qué esta función no se puede expresar como una serie de potencias?
Por favor, gracias.




Con los datos que tienes prueba a escribir la serie de Maclaurin (la serie de Taylor alrededor del cero) de esa función.

11 Mayo, 2019, 04:31 am
Respuesta #2

siempredannie

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Estoy buscando ejemplos de funciones continuamente diferenciables pero no analíticas y encontré esta:

\( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Y dice lo siguiente:
" Esta función es infinitamente derivable para cualquier \(  x\in{\mathbb{R}}  \) , y en particular todas sus derivadas en \( 0 \) son nulas: \( f(n)(0) = 0 \) . Por tanto, su serie de Taylor alrededor de \( 0 \) es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Además, la serie de Taylor de la función \( f \) en el origen en cualquier punto converge a la función cero. "

Entiendo la parte de que la función es infinitamente derivable
Pero no la parte en la que habla sobre la serie de Taylor.

Alguien me podría ayudar a entender por qué esta función no se puede expresar como una serie de potencias?
Por favor, gracias.




Con los datos que tienes prueba a escribir la serie de Maclaurin (la serie de Taylor alrededor del cero) de esa función.

Es así, no?

\(  f(x)= 0 + \displaystyle\frac{0}{1!}x + \displaystyle\frac{0}{2!}x^2 + \displaystyle\frac{0}{3!}x^3+...+\displaystyle\frac{0}{n!}x^n  \)

11 Mayo, 2019, 02:52 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Estoy buscando ejemplos de funciones continuamente diferenciables pero no analíticas y encontré esta:

\( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Y dice lo siguiente:
" Esta función es infinitamente derivable para cualquier \(  x\in{\mathbb{R}}  \) , y en particular todas sus derivadas en \( 0 \) son nulas: \( f(n)(0) = 0 \) . Por tanto, su serie de Taylor alrededor de \( 0 \) es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Además, la serie de Taylor de la función \( f \) en el origen en cualquier punto converge a la función cero. "

Entiendo la parte de que la función es infinitamente derivable
Pero no la parte en la que habla sobre la serie de Taylor.

Alguien me podría ayudar a entender por qué esta función no se puede expresar como una serie de potencias?
Por favor, gracias.




Con los datos que tienes prueba a escribir la serie de Maclaurin (la serie de Taylor alrededor del cero) de esa función.

Es así, no?

\(  f(x)= 0 + \displaystyle\frac{0}{1!}x + \displaystyle\frac{0}{2!}x^2 + \displaystyle\frac{0}{3!}x^3+...+\displaystyle\frac{0}{n!}x^n  \)


Sí, es así, pero la serie entera, no un trozo. Entonces tienes que \( \mathcal T(f,0)=0 \), por tanto la serie de Maclaurin no puede representar a la función en un entorno del cero, ya que la función no es cero a la derecha del cero.