Autor Tema: Bases de Hamel y bases hilbertianas

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08 Mayo, 2019, 10:31 pm
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Eparoh

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Hola, tengo una duda respecto al concepto de base hilbertiana.
La definición que tengo de esta es que un conjunto \( \{x_i\}_{i \in I} \) es una base hilbertiana de \( H \) un espacio prehilbertiano si es un sistema ortonormal maximal.
Mi duda es que, por lo que he visto estas bases son un concepto distinto a las bases de Hamel que sean también conjuntos ortonormales. Sin embargo, como se que cualquier base de Hamel es un sistema libre maximal y una base hilbertiana debe ser también libre por ser ortogonal, querría saber si existe alguna relación entre ambos tipos de bases, o si existen ejemplos donde una base de Hamel ortonormal no es base hilbertiana y viceversa.

Un saludo y muchas gracias por su ayuda y tiempo.

09 Mayo, 2019, 12:16 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una base de Hamel ortogonal es una base de Hilbert, desde luego.
El problema es que en general no existen bases de Hamel ortogonales en el caso de dimensión infinita. Por ejemplo, en \( L^2([0,1]) \) las bases de Hilbert son numerables mientras las de Hamel no, de donde se sigue que no existe ninguna base de Hamel ortogonal. Aquí tienes un ejemplo también de base de Hilbert que no es de Hamel.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Mayo, 2019, 09:29 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Vale, con tu comentario y leyendo un poco más ya veo clara la diferencia.
Muchas gracias por la ayuda ;)