Autor Tema: Funciones analíticas

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03 Mayo, 2019, 02:54 am
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siempredannie

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Si tengo una función \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Tengo que probar que \(  f \) tiene derivadas de todos los órdenes en \( x=0  \) y que \(  f^{n)}(0)=0 \)
Y si se puede escribir a \(  f  \) como una serie convergente en algún intervalo \( (-R,R)\;  R >0 \)

03 Mayo, 2019, 03:28 am
Respuesta #1

Masacroso

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Si tengo una función \( f:\mathbb{R}\Rightarrow{}\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Tengo que probar que \(  f \) tiene derivadas de todos los ordenes en \( x=0  \) y que \(  f^n(0)=0 \)
Y si se puede escribir a \(  f  \) como una serie convergente en algun intervalo \( (-R,R),  R >0 \)

Básicamente tienes que buscar una forma general para las derivadas de \( f \). Una forma aproximada te sirve.

03 Mayo, 2019, 03:52 am
Respuesta #2

siempredannie

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Si tengo una función \( f:\mathbb{R}\Rightarrow{}\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Tengo que probar que \(  f \) tiene derivadas de todos los ordenes en \( x=0  \) y que \(  f^n(0)=0 \)
Y si se puede escribir a \(  f  \) como una serie convergente en algun intervalo \( (-R,R),  R >0 \)

Básicamente tienes que buscar una forma general para las derivadas de \( f \). Una forma aproximada te sirve.

La forma general es  \(  p_n(f(x))/x^{3n}   \)

y el polinomio es de grado \(  2n-2  \)
Pero y luego, qué hago?

03 Mayo, 2019, 04:17 am
Respuesta #3

Masacroso

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Si tengo una función \( f:\mathbb{R}\Rightarrow{}\mathbb{R} \) dada por

\(  f(x)=\begin{cases} e^{-(1/x^2)} & \text{si}& x\neq{0}\\0& \text{si}& x=0\end{cases} \)

Tengo que probar que \(  f \) tiene derivadas de todos los ordenes en \( x=0  \) y que \(  f^n(0)=0 \)
Y si se puede escribir a \(  f  \) como una serie convergente en algun intervalo \( (-R,R),  R >0 \)

Básicamente tienes que buscar una forma general para las derivadas de \( f \). Una forma aproximada te sirve.

La forma general es  \(  p_n(f(x))/x^{3n}   \)

y el polinomio es de grado \(  2n-2  \)
Pero y luego, qué hago?

Una vez hecho eso debes comprobar que de hecho son derivadas, es decir, que esas funciones son continuas en el cero. Con eso has demostrado que, efectivamente, \( f \) es infinitamente diferenciable con derivadas iguales a cero en el cero.

No sé si la expresión que has hallado es lo suficientemente concreta para probar eso, inténtalo, sino intenta hallar una expresión algo más específica. En principio observa que \( \lim_{x\to 0^+}e^{-1/x^2}/p(x)=0 \) para cualquier polinomio \( p \).