[polenta]

Hola tengo que demostrar por inducción matemática que \( 2n+1\leq{2^n} \)
Hago el paso base con n=3, se cumple. Hago el paso inductivo: supongo que \( 2n+1\leq{2^n} \).Debo probar que \( 2(n+1)+1=2n+3 \)Entonces
\( 2n+3=2n+1+2\leq{2^n+2}  \) por hipótesis inductiva y ahí me quede.

[EnRlquE]

Hola.

 Lo que tienes que probar en el último paso de la inducción es que \( 2(n+1)+1\leq2^{n+1} \) o equivalentemente que \( 2n+3\leq2^{n+1} \).

 Para esto, completando lo que tienes, obseva que

\( 2n+3\leq2^{n}+2\leq 2^{n}+2^{n}=2^{n+1} \)

 En la última desigualdad hicimos uso de \( 2\leq2^{n} \) que, si eres exigente, lo puedes probar por inducción, pero no lo veo necesario.

Saludos.

[polenta]

Gracias, podria decir que \( 2^n+2\leq{2^n+2^n} \) porque \( 2^n \)con n=1, es 2? por si me preguntan porque.
Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

 Esta bien, sólo faltaría que hagas notar que las potencias de dos siempre crecen, es decir \( 2^{n}\leq 2^{n+1} \), lo que puedes deducir de \( 1\leq 2 \).

 También puedes hacer la prueba directa por inducción. Pero como mencioné antes no creo que sea necesario hacer muchas aclaraciones sobre esa desigualdad (salvo que sean demasiado exigentes  ).

Saludos.

[jef0]

Para esto, completando lo que tienes, obseva que

\( 2n+3\leq2^{n}+2\leq 2^{n}+2^{n}=2^{n+1} \)

Disculpa Braguildur, pero me parece que te referís a \( 2^{n}\cdot{2^{n}=2^{n+1}} \), o estoy equivocado?, creo que tenes un error ahí (si no es así pido mil disculpas y me gustaría que me expliques que como procedes).

Por otro lado, me parece más sencillo encara esa prueba de la siguiente forma

\( {{2^{n+1}=2\cdot{2^{n}}}\geq{2\cdot{(2n+1)}}}\geq{2n+3} \)

Las inecuación \( 2\cdot{2^{n}}\geq{2\cdot{(2n+1)}} \) se obtiene utilizando la hipótesis inductiva, mientras que \( 2\cdot{(2n+1)}\geq{2n+3} \) es sencillo de verificar, al menos por prueba y error.

Corrijanme cualquier cosa por favor.

Saludos!.

[jef0]

Te pido mil disculpas Braguildur, luego de releer y pensar detenidamente esto de \( 2^n+2^n=2^{n+1} \) me di cuenta de que estas en lo correcto, espero sepas disculparme.

Saludos!.

[EnRlquE]

Hola jef0.

 No hay problema, por cierto tu solución también es buena  .

Saludos.

[Jebsu]

Obseva que

\( 2n+3\leq2^{n}+2\leq 2^{n}+2^{n}=2^{n+1} \)

Me gustaría saber de donde sale el \( 2^n+2 \).

[manooooh]

Hola Jebsu, bienvenido al foro!!

Recuerda leer y seguir las reglas del mismo así como el tutorial del \( \mathrm\LaTeX \) para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Me gustaría saber de donde sale el 2^n+2

Comenzamos por el miembro izquierdo de lo que queremos probar:

\( 2n+3=(2n+1)+2. \)

Llegados a este punto, observa lo que está dentro del paréntesis. Por hipótesis inductiva es menor o igual a \( 2^n \):

\( (2n+1)+2\leq2^n+2. \)

Saludos

[Jebsu]

Muchas graciaaaas, créeme que lo ocupaba<33