Autor Tema: Cambio de variable en integrales

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27 Abril, 2019, 01:41 am
Respuesta #30

ciberalfil

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Ten en cuenta Feriva que según él mismo ha explicado quiere evitar el uso de los diferenciales, así que tu respuesta parece que no la va a entender. La dificultad estriba precisamente en explicarle el asunto sin usar diferenciales, yo le he estado dando vueltas y aún no he visto como hacerlo. Supongo que se podrá pero yo no lo he visto.

A ver si así:

\( f(g(x))g'(x)=f(u)\displaystyle\frac{du}{dx}\ \ \ \ (1) \)


Entiendes que (1) es una identidad con el cambio de variable \( g(x)=u \), supongo. Ahora solo tienes que integrar esa expresión respecto de la variable \( x \) para obtener la que buscas:


\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(u)\displaystyle\frac{du}{dx}dx=\displaystyle \int f(u)du\ \ \ \ (2) \)


Todo son funciones de la variable \( x \), pero aparece una variable intermedia que es \( u \) que es función de \( x \) y a su vez variable para \( f(u) \) al mismo tiempo, y no existe ningún problema en que \( u \) sea función y variable a la vez. Supongo que te liaras en el último paso de (2) pero es que no veo como demostrarlo sin usar diferenciales. Con diferenciales se ve a simple vista que el paso es simplificar una fracción. Pero sin diferenciales no lo veo.

El último paso se puede dar sencillamente porque la definición del \( du \) es precisamente:

\( du=u'(x)dx=\displaystyle\frac{du}{dx}dx \)

 que está bien definida por ser \( u =u(x) \) función de \( x \)

Salu2

27 Abril, 2019, 10:02 am
Respuesta #31

feriva

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Ten en cuenta Feriva que según él mismo ha explicado quiere evitar el uso de los diferenciales, así que tu respuesta parece que no la va a entender. La dificultad estriba precisamente en explicarle el asunto sin usar diferenciales


Hola, ciberalfil.

Ah, no había pensado en eso.

Saludos.

27 Abril, 2019, 11:33 am
Respuesta #32

Samir M.

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Básicamente no entiendo el paso

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  \displaystyle\int f(u) du \)

Sin hablar de variables: Si \( F \) es una primitiva de \( f \), entonces se cumple que \( F' = f \) (1). Por tanto, dada una función \( g \) derivable, se tiene que \( (F \circ g)' = (F' \circ g) \cdot g'  \) y como \( F' = f \), tenemos \( (F \circ g)' = (f\circ g)\cdot g' \) y así, \( \int (f \circ g) \cdot g' = \int (F \circ g)' = F \circ g + K =   \), independientemente de quién sea \( g \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

27 Abril, 2019, 12:09 pm
Respuesta #33

geómetracat

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No voy a entrar ni en el tema de las diferenciales ni en el de los infinitésimos y los números hiperreales (aunque es una tema muy interesante). Solamente decir que todo el análisis real se puede justificar sin usar ninguna de las dos cosas (de hecho, es lo que hacen en la inmensa mayoría de libros matemáticos).

No me extraña que te hagas un lío con estas cosas.
Tal como yo lo veo, el problema viene de que, estrictamente hablando, esta igualdad:
\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du \)
conceptualmente es, como mínimo, problemática. Hay una igualdad parecida que no da problemas, pero en el contexto de las integrales definidas, donde debes cambiar también los límites de integración.

El problema es el que dices tú: conceptualmente es muy confuso tener que estar identificando variables de integración y funciones de otra variable. Al fin y al cabo se supone que las variables de integración deberían ser mudas. La explicación de por qué esto funciona se puede entender en términos del teorema de cambio de variable para integrales definidas, donde todas estas dificultades conceptuales desaparecen (lo que calculas con una integral definida es un número, no una función) y las variables de integración son realmente mudas.
Pero también se puede entender directamente en términos de primitivas.

Mi sugerencia es que te tomes esa manera de proceder como una regla mnemotécnica o de cálculo tremendamente útil en la práctica (sobre todo en el segundo caso), pero que lo justifiques rigurosamente de la siguiente manera.
Si \( F \) es una primitiva de \( f \), entonces:
\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} F'(g(x))g'(x)dx = \int (F \circ g)'(x)dx = F(g(x)) + C \).
Claramente es el mismo resultado que obtenías con el cambio de variable, pero ahora sin cambiar de variable.

Ahora, la segunda igualdad. Sea \( g \) una función invertible cualquiera y sea \( F \) una primitiva de \( f \). Entonces, si llamamos \( H \) a una primitiva de la función \( x \mapsto f(g(x))g'(x) \), por la primera parte (me salto el tema de las constantes para no liar):
\( H(x) = \displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx =  F(g(x)) \). Y de aquí:
\( \displaystyle \int f(x)dx = F(x) = F(g(g^{-1}(x)) = H(g^{-1}(x)) \), que es la igualdad que buscábamos.

Como decía antes, otra opción es darse cuenta de que una primitiva para \( f \) es la función
\( F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt \)
y usar el teorema de cambio de variable para integrales definidas, que no da ningún tipo de problema. Entonces tienes:
\( F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt = \int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(x)} f(g(t))g'(t)dt = H(g^{-1}(x)) - H(g^{-1}(0)) = H(g^{-1}(x)) + C \)
donde como antes \( H \) es una primitiva de \( x \mapsto f(g(x))g'(x) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Abril, 2019, 02:27 pm
Respuesta #34

DavidRG

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Iba a enviar un mensaje cuando me doy cuenta que geómetracat ha escrito un mensaje nuevo y al leerlo se me ha ocurrido algo.

Antes que nada mencionar que creo que con los diferenciales se puede entender también pero como yo lo hago, ya que si no u es una función de x y como estamos integrando sobre du estamos integrando sobre una función de x.

Se me ha ocurrido una forma de hacer lo mismo que el cambio de variable sin el cambio de variable:


Primero el primer caso.

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x) + c \)

Entonces necesitamos averiguar las funciones F y g

F es la antiderivada de f, así que hacemos
\( F(u) = \displaystyle\int f(u) du \)

(Escogemos una variable cualquiera que no depende de x para resolver la primitiva)

Ahora, tenemos las dos funciones así que para hallar F(g(x)) sustituimos u por g(x)

[Es decir, u solo es una letra para saber que efecto tiene a función F, de hecho se podría explicar esto mismo sin ninguna variable extra]






Y ahora el segundo caso:


\(  \displaystyle\int f(x) dx = F(x) + c \)

Aquí solo tenemos que hallar la función F.
Pero no sabemos hallarla y nos imaginamos una función \( H = F\circ{g} \)

Ahora:

\( H(u) = F(g(u)) = \displaystyle\int [f(g(u))]' du = \displaystyle\int f' (g(u)) g'(u)  \)

(Aquí otra vez u no depende de x, es una variable independiente solo para hallar la función H)

Ahora sabemos las funciones H y g, y como
 \( H = F \circ{g} \)
\( H \circ{g} ^{-1}= F \circ{g\circ{g} ^{-1}} = F \)

Y como tenemos H(u), para hallar x ya solo tenemos que sustituir u por \( g^{-1}(x) \)


[Aunque está explicado con una variable (u), insisto que no es necesario]



Creo que se podría entender mejor sin incluir la u pero la he puesto porque en el cálculo práctico de integrales sí que se pone y creo que es mejor entenderlo así.


Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

27 Abril, 2019, 02:36 pm
Respuesta #35

ciberalfil

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27 Abril, 2019, 03:05 pm
Respuesta #36

Samir M.

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Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

27 Abril, 2019, 03:35 pm
Respuesta #37

DavidRG

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Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.


Si que los he leído pero algunos no los he entendido ya sea porque los estaba malinterpretando o porque estaba convencido en buscar una solución por un camino y era por otro.
Por ejemplo, al leer tu post he pensado que al incluir variables, x sería una función y no serviría.
Aunque luego me he dado cuenta que no tenía nada que ver porque se sustituye la función tras hallar F(u).

Osea el problema de por qué no lo entendía es porque trataba de ver u como funcion de x y no como variable independiente que luego sería sustituida por una función.

De hecho si no se me hubiera ocurrido esa forma de explicarlo habría preguntado lo que no entendía hasta darme cuenta de mi error.

Por eso he dicho al final que lo siento si me lo habían explicado antes pero estaba intentando entenderlo de otra forma y no lo había entendido

27 Abril, 2019, 03:53 pm
Respuesta #38

ciberalfil

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Mejor aprende diferenciales.

27 Abril, 2019, 06:39 pm
Respuesta #39

feriva

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No, pero mira una cosa, David, si es que el problema principal aquí no es ni de integrales ni de composición de funciones ni de diferenciales ni de nada de análisis, es de lógica, del principio del tercero excluido: una cosa y su contraria no puede ser verdad.


Hay un cambio de variable que es

\( {\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du=F(u)+c=F(g(x))+c}}
  \) , donde u=g(x)

Que se puede entender fácilmente aplicando la regla de la cadena


Pero luego está este cambio de variable

\( {\displaystyle \int f(x)dx={\displaystyle \int f(g(u))g'(u)du=F(g(u))+c=F(x)+c}}
   \)...

Y este cambio de variable no lo comprendo sin el uso de diferenciales.


1ª \( {\displaystyle \int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x})dx={\displaystyle \int f({\color{green}u}){\color{green}du}}}
  \)

2ª \( \displaystyle \int f({\color{blue}x})d{\color{blue}x}={\displaystyle \int f(g({\color{red}u}))g'({\color{red}u})d{\color{red}u}}
  \)

Haciendo los cambios de letras (no de variables, de letras a las que pongo colores)

\( {\color{magenta}x}={\color{red}u}
  \)

\( {\color{blue}x}={\color{blue}{\color{green}u}}
 ] \)

2º \( \displaystyle\int {\displaystyle f({\color{green}u}){\color{green}du}=\int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x}){\color{magenta}dx}}
  \)

2º \( {\displaystyle \int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x}){\color{magenta}dx}=\int f({\color{green}u}){\color{green}du}}
  \) (cambiando las cosas de sitio respecto del signo igual).

1º \( {\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du}}
  \)

Es exactamente lo mismo, lo dijo Masacroso ya en la primera respuesta, después lo dijo Luis con exclamaciones...

Por tanto, es imposible, David, que entiendas una cosa y no otra, el valor de verdad de eso es Falso (no digo que estés mintiendo a propósito, pero sí que no te das cuenta). Y ése es el problema principal de lo que dices.

Saludos.