Autor Tema: Cambio de variable en integrales

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26 Abril, 2019, 01:58 pm
Respuesta #20

ciberalfil

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Yo creo que mis dos pregunta son básicamente muy sencillas y solo espero una respuesta sencilla:

1.- ¿que valores toma la expresión del diferencial de una función, suponiendo que la función es real de variable real, claro? Reales, complejos, vectoriales, hiperreales ... otros.

\( dy(x)=y′(x)dx=? \)

2.- ¿dicha expresión es un número fijo o representa una variable que puede tomar mas de un valor?

Todo lo que no sea contestar a eso es darle vueltas a la pelota, sin avanzar ni un pelo. Os pido por favor una contestación sencilla.

Mi respuestas son:

1.- valores reales

2.- infinitos valores, es una función.

Gracias a todos por vuestra colaboración.

26 Abril, 2019, 02:56 pm
Respuesta #21

Luis Fuentes

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Hola

Yo creo que mis dos pregunta son básicamente muy sencillas y solo espero una respuesta sencilla:

1.- ¿que valores toma la expresión del diferencial de una función, suponiendo que la función es real de variable real, claro? Reales, complejos, vectoriales, hiperreales ... otros.

\( dy(x)=y′(x)dx=? \)

2.- ¿dicha expresión es un número fijo o representa una variable que puede tomar mas de un valor?

Todo lo que no sea contestar a eso es darle vueltas a la pelota, sin avanzar ni un pelo. Os pido por favor una contestación sencilla.

Ya te he contestado. \( dx,dy \) son funciones; toman valores en los reales. Pero buscar una respuesta en una o dos palabras es conformarse con una respuesta pobre que apenas aportará; es mucho más enriquecedor leer lo que acabo de poner en mi anterior mensaje citando a yoyontzin: Luego con más tiempos los enlaces que indiqué.

De hecho el hilo donde yoyontzin hace su exposición empieza con exactamente tus mismas preguntas.  ::)

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,12826.0.html

Saludos.

26 Abril, 2019, 03:55 pm
Respuesta #22

feriva

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Yo creo que mis dos pregunta son básicamente muy sencillas y solo espero una respuesta sencilla:

1.- ¿que valores toma la expresión del diferencial de una función?


Yo no puedo dar más respuesta porque no sé más, no sé casi de diferenciales ni de análisis

Pero sí puedo plantear algo sobre los números infinitesimales, como entes sueltos, sacándolos de contextos teóricos más avanzados; creo que deberíamos analizar antes esto, creo que está “antes”.

Sabemos que los números enteros son finitos (es decir, acaban en una última cifra y detrás ya no hay más) esto implica que su valor, como cantidad, sea finito. Del mismo modo, los números reales siempre representan valores de cantidad finita, pues un número real consta de un entero sumado a una mantisa cuyo valor, como cantidad, está entre cero y menos de 1. No existen reales que representen cantidades infinitas.

Pero qué es un número. Pues no sabría definirlo muy bien, sólo sabría decir que se pueden clasificar haciendo consideraciones distintas: como una cantidad, como cadena de cifras...

Dicho esto, consideremos un número real irracional, como pueda ser el número “e”.

Tenemos esto 2,71828...

La cantidad, en cuanto a valor, es obviamente finita, pues vale menos de 3. Sin embargo, tiene una cantidad infinita de cifras.

Ahora procedamos así: pensemos en una cifra de la mantisa del número “e” muy “lejana”, tanto que nunca nadie, contando cifras, llegue a ella. Digámoslo así, no digamos “infinitas cifras”, nadie llegará a encontrar una cierta cifra.

A esa cifra que nunca encontrará nadie la llamo “k” y escribo 2,71828...k.

Acto seguido le quito todas las cifras de delante

0,000...k

Y me hago la pregunta: ¿qué cantidad es ésa? Ninguna cantidad, es cero, pues nunca encontraremos otra cosa que ceros. Pero cero de verdad, como cantidad es el número entero cero, ni un poquito más.

Para decir que es un poquito más, habría que cargarse la definición que he elegido, la de que nadie puede llegar a encontrar (usar o manejar) “k”.

Ahora bien, nada me impide plantear esto, por ejemplo \( \dfrac{0,000...k}{0,000...k}
  \); y no importa no encontrar “k”, no lo necesitamos para decir que el cociente es 1 por mucho que esa cantidad sea cero; además, no existe ninguna contradicción ni cosa rara en lo que digo, la única condición es que no haya un cero de más arriba que abajo, pero mientras haya los mismos, puede haber tantos como uno quiera, que el cociente no va a cambiar.

Ahora tomemos una cifra distinta de “k”, sea “m”, quitemos la “k” y pongamos la “m”: 0,000...m. Así, nadie llegará a encontrar “m” y para nosotros será exactamente (y digo exactamente) la misma cantidad de antes, cero.

En cambio, si por ejemplo tomamos \( \dfrac{0,000...k}{0,000...m}
  \) no será mismo el cociente.

Claro, una cosa es una cantidad y otra una proporción, cociente o como se quiera decir.

Ahora, sí puedo responder a cuál es el valor real, en cuanto a cantidad, de “dx” (si se considera que “dx” es un número infinitesimal) y la respuesta no puede ser otra que la misma, es cero, como número real, es una constante, y no una variable. Y no me meto en cosas de las que sé poco, no quiero decir que deje de ser una función, me refiero a su valor infinitesimal y a la cantidad que representa en los reales.

Saludos.

26 Abril, 2019, 03:59 pm
Respuesta #23

ciberalfil

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Mi objetivo era tratar de aclarar la pregunta inicial del hilo sobre la relación que pudiera existir entre los diferenciales y los números hiperreales. No iniciar un debate sobre el calculo diferencial.

Creo que tu respuesta coincide con la mía (me refiero a la de Luis Fuentes) y eso me basta, aunque daremos tiempo a que otros puedan opinar, por si acaso alguien discrepara.

En cuanto a la contestación de Feriva, no quiero despreciar su aportación, pero yo no tengo conocimientos suficientes para hablar de números hiperreales, los números infinitesimales lo son, y prefiero no debatir el asunto ya que es mejor leer la opinión de los que saben mas que yo.

Eso es todo. Saludos.

26 Abril, 2019, 04:51 pm
Respuesta #24

DavidRG

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¿Cuándo dices "entenderlos", te refieres a ver una demostración rigurosa? ¿Saber aplicarlos? ¿Tener una idea intuitiva de por qué funcionan?.


En principio me refería a demostración rigurosa. (Aunque en este momento tampoco tengo la idea intuitiva de por qué funciona.)



¡Y qué diferencia hay entre uno y otro!.

En el primero tienes la igualdad:

\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du \)

en el segundo:

\( \displaystyle\int_{}f(x) dx = \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du \)

¿Es distinto escribir \( a=b \) que \( b=a \)?. No, es lo mismo. Entonces el segundo es lo mismo que:

\(  \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx \)

¿Y ahora cambia el sentido de la expresión por cambiar el nombre de las variables? ¿Ves alguna diferencia en estas expresiones?.

\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du \)

\(  \displaystyle\int f(g(u)) g'(u) du=\displaystyle\int_{}f(x) dx \)

\(  \displaystyle\int f(g(romeo)) g'(romeo) d(romeo)=\displaystyle\int_{}f(julieta) d(julieta) \)

Incluso sería correcto escribir:

\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(x) dx \)



A ver, es que el primer caso lo entendí sin entender el cambio de variable. Como si u fuera una función y simplemente aplicamos la regla de la cadena.
Ahora si lo hacemos al revés no puedo demostrarlo de la misma forma ya que tendría que x es una función y se que es una variable.


Ahora, eso es lo que me falta por entender, si ambos son variables, son funciones...
Porque si x es una variable y x=g(u), g(u) es una variable. Y por tanto \( u=g^{-1}(u) \) Es decir u es una función de x y creo que no puede ser a la vez función de x y variable, y si sí que puede no entiendo cómo.



26 Abril, 2019, 06:37 pm
Respuesta #25

feriva

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En cuanto a la contestación de Feriva, no quiero despreciar su aportación, pero yo no tengo conocimientos suficientes para hablar de números hiperreales, los números infinitesimales lo son, y prefiero no debatir el asunto ya que es mejor leer la opinión de los que saben mas que yo.

Eso es todo. Saludos.

Soy muy consciente de que sabes mucho más que yo, pero me gusta comentar cosas con todo el mundo, si ha sonado prepotente lo que he dicho, perdóname, no pasaba por mi cabeza, de verdad. A veces hasta he discutido cosas a Luis (y he salido perdiendo, claro) así que nadie se libra de mi ignorancia, que es más atrevida de lo normal.

Un cordial saludo.

26 Abril, 2019, 10:07 pm
Respuesta #26

Luis Fuentes

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Hola

A ver, es que el primer caso lo entendí sin entender el cambio de variable. Como si u fuera una función y simplemente aplicamos la regla de la cadena.
Ahora si lo hacemos al revés no puedo demostrarlo de la misma forma ya que tendría que x es una función y se que es una variable.

Perdona que insista; te invito a que vuelvas a leer mi mensaje anterior con calma e indiques exactamente que cosa no entiendas. La clave es que comprendas que el nombre de las variables es indiferente en todo esto; lo que importa es que compones dos funciones independientemente del nombre que le des a la variable.

Saludos.

26 Abril, 2019, 11:57 pm
Respuesta #27

DavidRG

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Básicamente no entiendo el paso

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  \displaystyle\int f(u) du \)


Puede que sea un fallo básico o de concepto, pero no entiendo como una función g(x) puede convertirse en variable de forma que x también sea una variable.
Es decir que si consideraramos a una una variable la otra deja de ser variable porque depende de la otra.
Por ejemplo pongamos f (k) = 3k ; g(k) = k²
(Pongo k para no confundirla con x ni con u)
Entonces f(2) = 6

Si suponemos que x es una variable y g(x) = u

Para x=2, f(g(x)) =12 y para u=2, f(u) = 6

[f(g(x)) = 3x² y f(u) = 3u]


Y por tanto [f(g(x))]' ≠ f'(u)

Por lo que me da que

\( \displaystyle\int f'(g(x)) g'(x) dx [=\displaystyle\int [f(g(x))]' dx] ≠ \displaystyle\int f' (u) du \)



A lo que me refería en mi primer mensaje es que entendía que

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  F(g(x)) + c \)

(Osea, aplicar directamente la regla de la cadena)
Pero el cambio de variable de x a u (o a cualquier letra, ya se que da igual el nombre) no le entiendo

27 Abril, 2019, 12:33 am
Respuesta #28

ciberalfil

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Bien, creo que te ayude a entender que los diferenciales y los números hiperreales son cosas distintas, y no tienen ninguna relación entre si. Tu segundo problema es que tienes un lío bastante gordo con el concepto de función y variable, y no deberías tenerlo. Las variables las hay independientes y dependientes, y esas segundas son las funciones, así que las funciones pueden ser variables y las variables pueden ser funciones. Solo depende del uso que hagas de ellas.

Tienes también otro problema y es que te resistes a utilizar los diferenciales, y si quieres aprender a integrar tendrás que aprender lo que son los diferenciales y como utilizarlos, ahora estas empezando y aún tienes una visión bastante elemental, pero antes o después tendrás que aprender a manejar los diferenciales, y mi consejo es que contra antes lo hagas antes tendrás una visión más completa del cálculo. Con el manejo de los diferenciales tus dudas desaparecerían por si solas, y si renuncias a ellos vas a tener muchos problemas como éste y aún mas gordos. Dedícale un par de lecturas a los diferenciales, en el nivel mas elemental si quieres y verás como tus dudas desaparecen solas.

Por otra parte seguro que hay gente en este foro dispuesta a ayudarte en lo que sea para aprender a manejar esos elementos que ahora pueden parecerte difíciles pero que son mucho mas sencillos de lo que te imaginas. Yo mismo si puedo ayudarte con gusto lo haré.

Salu2

27 Abril, 2019, 01:31 am
Respuesta #29

feriva

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Básicamente no entiendo el paso

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  \displaystyle\int f(u) du \)


Puede que sea un fallo básico o de concepto, pero no entiendo como una función g(x) puede convertirse en variable de forma que x también sea una variable.


Por ejemplo

\( {\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du}}
  \)



\( g(x)=x+1=u
  \)

\( f(g(x))=(x+1)^{2}=f(u)
  \)

\( g'(x)dx=du
  \)

Saludos.

27 Abril, 2019, 01:41 am
Respuesta #30

ciberalfil

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Ten en cuenta Feriva que según él mismo ha explicado quiere evitar el uso de los diferenciales, así que tu respuesta parece que no la va a entender. La dificultad estriba precisamente en explicarle el asunto sin usar diferenciales, yo le he estado dando vueltas y aún no he visto como hacerlo. Supongo que se podrá pero yo no lo he visto.

A ver si así:

\( f(g(x))g'(x)=f(u)\displaystyle\frac{du}{dx}\ \ \ \ (1) \)


Entiendes que (1) es una identidad con el cambio de variable \( g(x)=u \), supongo. Ahora solo tienes que integrar esa expresión respecto de la variable \( x \) para obtener la que buscas:


\( \displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(u)\displaystyle\frac{du}{dx}dx=\displaystyle \int f(u)du\ \ \ \ (2) \)


Todo son funciones de la variable \( x \), pero aparece una variable intermedia que es \( u \) que es función de \( x \) y a su vez variable para \( f(u) \) al mismo tiempo, y no existe ningún problema en que \( u \) sea función y variable a la vez. Supongo que te liaras en el último paso de (2) pero es que no veo como demostrarlo sin usar diferenciales. Con diferenciales se ve a simple vista que el paso es simplificar una fracción. Pero sin diferenciales no lo veo.

El último paso se puede dar sencillamente porque la definición del \( du \) es precisamente:

\( du=u'(x)dx=\displaystyle\frac{du}{dx}dx \)

 que está bien definida por ser \( u =u(x) \) función de \( x \)

Salu2

27 Abril, 2019, 10:02 am
Respuesta #31

feriva

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Ten en cuenta Feriva que según él mismo ha explicado quiere evitar el uso de los diferenciales, así que tu respuesta parece que no la va a entender. La dificultad estriba precisamente en explicarle el asunto sin usar diferenciales


Hola, ciberalfil.

Ah, no había pensado en eso.

Saludos.

27 Abril, 2019, 11:33 am
Respuesta #32

Samir M.

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Básicamente no entiendo el paso

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx  =  \displaystyle\int f(u) du \)

Sin hablar de variables: Si \( F \) es una primitiva de \( f \), entonces se cumple que \( F' = f \) (1). Por tanto, dada una función \( g \) derivable, se tiene que \( (F \circ g)' = (F' \circ g) \cdot g'  \) y como \( F' = f \), tenemos \( (F \circ g)' = (f\circ g)\cdot g' \) y así, \( \int (f \circ g) \cdot g' = \int (F \circ g)' = F \circ g + K =   \), independientemente de quién sea \( g \).

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

27 Abril, 2019, 12:09 pm
Respuesta #33

geómetracat

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No voy a entrar ni en el tema de las diferenciales ni en el de los infinitésimos y los números hiperreales (aunque es una tema muy interesante). Solamente decir que todo el análisis real se puede justificar sin usar ninguna de las dos cosas (de hecho, es lo que hacen en la inmensa mayoría de libros matemáticos).

No me extraña que te hagas un lío con estas cosas.
Tal como yo lo veo, el problema viene de que, estrictamente hablando, esta igualdad:
\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} f(u) du \)
conceptualmente es, como mínimo, problemática. Hay una igualdad parecida que no da problemas, pero en el contexto de las integrales definidas, donde debes cambiar también los límites de integración.

El problema es el que dices tú: conceptualmente es muy confuso tener que estar identificando variables de integración y funciones de otra variable. Al fin y al cabo se supone que las variables de integración deberían ser mudas. La explicación de por qué esto funciona se puede entender en términos del teorema de cambio de variable para integrales definidas, donde todas estas dificultades conceptuales desaparecen (lo que calculas con una integral definida es un número, no una función) y las variables de integración son realmente mudas.
Pero también se puede entender directamente en términos de primitivas.

Mi sugerencia es que te tomes esa manera de proceder como una regla mnemotécnica o de cálculo tremendamente útil en la práctica (sobre todo en el segundo caso), pero que lo justifiques rigurosamente de la siguiente manera.
Si \( F \) es una primitiva de \( f \), entonces:
\( \displaystyle\int_{}^{} f(g(x))  g'(x) dx = \displaystyle\int_{}^{} F'(g(x))g'(x)dx = \int (F \circ g)'(x)dx = F(g(x)) + C \).
Claramente es el mismo resultado que obtenías con el cambio de variable, pero ahora sin cambiar de variable.

Ahora, la segunda igualdad. Sea \( g \) una función invertible cualquiera y sea \( F \) una primitiva de \( f \). Entonces, si llamamos \( H \) a una primitiva de la función \( x \mapsto f(g(x))g'(x) \), por la primera parte (me salto el tema de las constantes para no liar):
\( H(x) = \displaystyle \int f(g(x))g'(x) dx =  F(g(x)) \). Y de aquí:
\( \displaystyle \int f(x)dx = F(x) = F(g(g^{-1}(x)) = H(g^{-1}(x)) \), que es la igualdad que buscábamos.

Como decía antes, otra opción es darse cuenta de que una primitiva para \( f \) es la función
\( F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt \)
y usar el teorema de cambio de variable para integrales definidas, que no da ningún tipo de problema. Entonces tienes:
\( F(x) = \displaystyle \int_0^x f(t)dt = \int_{g^{-1}(0)}^{g^{-1}(x)} f(g(t))g'(t)dt = H(g^{-1}(x)) - H(g^{-1}(0)) = H(g^{-1}(x)) + C \)
donde como antes \( H \) es una primitiva de \( x \mapsto f(g(x))g'(x) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

27 Abril, 2019, 02:27 pm
Respuesta #34

DavidRG

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Iba a enviar un mensaje cuando me doy cuenta que geómetracat ha escrito un mensaje nuevo y al leerlo se me ha ocurrido algo.

Antes que nada mencionar que creo que con los diferenciales se puede entender también pero como yo lo hago, ya que si no u es una función de x y como estamos integrando sobre du estamos integrando sobre una función de x.

Se me ha ocurrido una forma de hacer lo mismo que el cambio de variable sin el cambio de variable:


Primero el primer caso.

\( \displaystyle\int f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x) + c \)

Entonces necesitamos averiguar las funciones F y g

F es la antiderivada de f, así que hacemos
\( F(u) = \displaystyle\int f(u) du \)

(Escogemos una variable cualquiera que no depende de x para resolver la primitiva)

Ahora, tenemos las dos funciones así que para hallar F(g(x)) sustituimos u por g(x)

[Es decir, u solo es una letra para saber que efecto tiene a función F, de hecho se podría explicar esto mismo sin ninguna variable extra]






Y ahora el segundo caso:


\(  \displaystyle\int f(x) dx = F(x) + c \)

Aquí solo tenemos que hallar la función F.
Pero no sabemos hallarla y nos imaginamos una función \( H = F\circ{g} \)

Ahora:

\( H(u) = F(g(u)) = \displaystyle\int [f(g(u))]' du = \displaystyle\int f' (g(u)) g'(u)  \)

(Aquí otra vez u no depende de x, es una variable independiente solo para hallar la función H)

Ahora sabemos las funciones H y g, y como
 \( H = F \circ{g} \)
\( H \circ{g} ^{-1}= F \circ{g\circ{g} ^{-1}} = F \)

Y como tenemos H(u), para hallar x ya solo tenemos que sustituir u por \( g^{-1}(x) \)


[Aunque está explicado con una variable (u), insisto que no es necesario]



Creo que se podría entender mejor sin incluir la u pero la he puesto porque en el cálculo práctico de integrales sí que se pone y creo que es mejor entenderlo así.


Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

27 Abril, 2019, 02:36 pm
Respuesta #35

ciberalfil

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Mejor aprende diferenciales.

27 Abril, 2019, 03:05 pm
Respuesta #36

Samir M.

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Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

27 Abril, 2019, 03:35 pm
Respuesta #37

DavidRG

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Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.


Si que los he leído pero algunos no los he entendido ya sea porque los estaba malinterpretando o porque estaba convencido en buscar una solución por un camino y era por otro.
Por ejemplo, al leer tu post he pensado que al incluir variables, x sería una función y no serviría.
Aunque luego me he dado cuenta que no tenía nada que ver porque se sustituye la función tras hallar F(u).

Osea el problema de por qué no lo entendía es porque trataba de ver u como funcion de x y no como variable independiente que luego sería sustituida por una función.

De hecho si no se me hubiera ocurrido esa forma de explicarlo habría preguntado lo que no entendía hasta darme cuenta de mi error.

Por eso he dicho al final que lo siento si me lo habían explicado antes pero estaba intentando entenderlo de otra forma y no lo había entendido

27 Abril, 2019, 03:53 pm
Respuesta #38

ciberalfil

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27 Abril, 2019, 06:39 pm
Respuesta #39

feriva

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No, pero mira una cosa, David, si es que el problema principal aquí no es ni de integrales ni de composición de funciones ni de diferenciales ni de nada de análisis, es de lógica, del principio del tercero excluido: una cosa y su contraria no puede ser verdad.


Hay un cambio de variable que es

\( {\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du=F(u)+c=F(g(x))+c}}
  \) , donde u=g(x)

Que se puede entender fácilmente aplicando la regla de la cadena


Pero luego está este cambio de variable

\( {\displaystyle \int f(x)dx={\displaystyle \int f(g(u))g'(u)du=F(g(u))+c=F(x)+c}}
   \)...

Y este cambio de variable no lo comprendo sin el uso de diferenciales.


1ª \( {\displaystyle \int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x})dx={\displaystyle \int f({\color{green}u}){\color{green}du}}}
  \)

2ª \( \displaystyle \int f({\color{blue}x})d{\color{blue}x}={\displaystyle \int f(g({\color{red}u}))g'({\color{red}u})d{\color{red}u}}
  \)

Haciendo los cambios de letras (no de variables, de letras a las que pongo colores)

\( {\color{magenta}x}={\color{red}u}
  \)

\( {\color{blue}x}={\color{blue}{\color{green}u}}
 ] \)

2º \( \displaystyle\int {\displaystyle f({\color{green}u}){\color{green}du}=\int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x}){\color{magenta}dx}}
  \)

2º \( {\displaystyle \int f(g({\color{magenta}x}))g'({\color{magenta}x}){\color{magenta}dx}=\int f({\color{green}u}){\color{green}du}}
  \) (cambiando las cosas de sitio respecto del signo igual).

1º \( {\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx={\displaystyle \int f(u)du}}
  \)

Es exactamente lo mismo, lo dijo Masacroso ya en la primera respuesta, después lo dijo Luis con exclamaciones...

Por tanto, es imposible, David, que entiendas una cosa y no otra, el valor de verdad de eso es Falso (no digo que estés mintiendo a propósito, pero sí que no te das cuenta). Y ése es el problema principal de lo que dices.

Saludos.