Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:
\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.
Pero usando la teoría más general de
Lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?
La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).
Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:
\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)
realizando el cambio, \( u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2) \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)
y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}} \)
Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?
Muchas gracias de antemano
Saludos.