Autor Tema: maximum value

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01 Marzo, 2019, 06:26 am
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jacks

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If \( a,b\in\mathbb{R} \) and \( \displaystyle a^2+b^2=1+\frac{2ab}{a-b} \) and \( \sqrt{a-b}=a^2+5b \). Then maximum of \( ab \) is

18 Abril, 2019, 06:28 pm
Respuesta #1

kike0001

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Hello, if \( a^2+b^2=1+\frac{2ab}{a-b} \) then:

\( (a-b-1)[(a-b)(a-b+1)+2ab]=0 \), then \( a-b=1 \) or \( ab=\frac{(a-b)(a-b+1)}{-2} \),

  • If \( ab=\frac{(a-b)(a-b+1)}{-2} \) and \( \sqrt{a-b}=a^2+5b \)
    How \( \sqrt{a-b}=a^2+5b\implies a-b\geq0  \) then \( ab=\frac{(a-b)(a-b+1)}{-2}\leq0 \)
  • If \( ab=\frac{(a-b)(a-b+1)}{-2} \) and \( a-b=1 \)
    Then  \( ab=\frac{(1)(1+1)}{-2}=-1 \)
  • If \( a-b=1 \) and \( \sqrt{a-b}=a^2+5b \)
    Then \( 1=a^2+5b \) and \( a-b=1 \)

    the solutions in this case are \( (a,b)=(1,0) \) or \( (a,b)=(-6,-7) \)
    and \( ab=1\cdot0=0 \) or \( ab=-6\cdot(-7)=42 \)

Therefore maximum of \( ab \) is \( 42 \)
שְׁמַ֖ע  יִשְׂרָאֵ֑ל  יְהוָ֥ה  אֱלֹהֵ֖ינוּ  יְהוָ֥ה  אֶחָֽד

http://www.asdrumath.com

19 Abril, 2019, 02:11 pm
Respuesta #2

jacks

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Thanks Kike.