[RodriStone]

Necesito breve ayuda, un contraejemplo de una función \( f:V\to V \),(con \( V \) un \( K \)- Espacio Vectorial Cualquiera) que satisfaga la propiedad aditiva, pero que no sea transformación lineal

[Masacroso]

Necesito breve ayuda, un contraejemplo de una función f : V -> V ,(con V un K- Espacio Vectorial Cualquiera) que satisfaga la propiedad aditiva, pero que no sea transformación lineal

¿Qué te parece \( f:\Bbb R\to\Bbb R,\, x\mapsto x+1 \)? Ah, pues no, esa función no sirve

[geómetracat]

Considera \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) dada por \( f(z) = \overline{z} \) (la conjugación compleja), donde piensas \( \mathbb{C} \) como espacio vectorial complejo. Es fácil ver que esta función preserva sumas (y de hecho es \( \mathbb{R} \)-lineal) pero no es \( \mathbb{C} \)-lineal.

[Masacroso]

Venía a postear una muy similar a la de geometracat, las funciones parte real o parte imaginaria son aditivas pero no son lineales en \( \Bbb C \).

[Luis Fuentes]

Hola

¿Qué te parece \( f:\Bbb R\to\Bbb R,\, x\mapsto x+1 \)? Ah, pues no, esa función no sirve

Dar una función  \( f:\Bbb R\to\Bbb R \) que sea aditiva pero no lineal es un poco más lioso. Hay que pensar \( \Bbb R \) como \( \mathbb{Q} \)-espacio vectorial, "tomar una base" y definir por ejemplo una función que lleve uno de los elementos de la base al \( 1 \) y los demás al cero.

Saludos.

P.D. Entrecomillo "tomar una base" porque el axioma de elección garantiza su existencia pero no podemos explicitarla.