por lo que he podido ver un árbol central debe tener vértices impares, y para que sea  bicentral, debe tener vértices pares...sera siempre verdad esto?

Hola

 Como siempre uno de las dificultades para responder es no saber exactamente de que definiciones y resultados previos partes.

 Vayamos poco a poco. Partimos de un grafo conexo:

 - Dados dos vértices de un grafo la distantica entre ellos \( d(u,v) \) es la longitud del camino mínimo que los une.

 - Dado un vértice la excentricidad del mismo es la distancia máxima a cualquier otro vértice del grafo.

 - El radio del grafo es el mínimo de las excentricidades de todos sus vértices.

 - Un árbol es un grafo conexo que no tiene ciclos.

 - Un árbol es central si tiene un sólo centro y bicentral si tiene dos centros.

 - El grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él.

 Bien partiendo de esto me parece absurdo que te manden probar que un árbol no es central y bicentral al mismo tiempo. Lo que si tiene sentido es probar que no puede tener más de dos centros y si tiene dos estos son adyacentes.

 Preguntaron eso mismo hace poco: allí di un plan para la prueba, pero (creo) tiene algunos problemas. Así que ahora tiro por otro lado.

 Varios resultados que puedes ir probando:

 i) Un centro de un árbol con más de dos vértices, no puede estar en un extremo, es decir, en un vértice de grado 1:


 ii) Si en un árbol con más de dos vértices retiras todos los vértices de grado 1 y sus correspondientes aristas, te queda un nuevo árbol con los mismos centros:


 iii) Como consecuencia de 2,  siempre que tengas  más de dos vértices puedes retirar vértices extremos y mantener los centros. Reiterando el proceso siempre llegas a un árbol de dos vértices o de un vértice. Por tanto el árbolo sólo puede ser central o bicentral.

 Observa que:

por lo que he podido ver un árbol central debe tener vértices impares, y para que sea  bicentral, debe tener vértices pares...sera siempre verdad esto?

 Esto no es cierto. Estos dos árboles son centrales:

 \( \xymatrix{\circ \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] &\circ } \)

 \( \xymatrix{&  \circ & \\ \circ \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] \ar@{-}[d] & \circ \\& \circ &} \)

 Y estos dos bicentrales:

 \( \xymatrix{\bullet \ar@{-}[r] & \bullet } \)

 \( \xymatrix{& & \circ & \\ \circ \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] & \bullet \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & \circ } \)

Saludos.

Hola

 En cuanto a las dos últimas cuestiones, no tengo tan claro cual es una buena caracterización de los árboles centrales pero bicentroidales, o bicentrales pero centroidales.

 Si pueden ponerse ejemplos. Ya vimos un árbol bicentral pero centroidal.

 Un árbol \( \boxed{\mbox{central}} \) pero bicentroidal sería:

\( \xymatrix{ & & & 4 & \\ 5 \ar@{-}[r] &4 \ar@{-}[r] & \boxed{\color{red}3\color{black}} \ar@{-}[r] & \color{red}3\color{black} \ar@{-}[r] \ar@{-}[u] & 5 } \)

Saludos.

Hola

 Si has leído mis mensajes (¡leelos, por favor, que me los "curré" mucho  !), comprobarás que en el primero de ellos pruebo que esa definición de centro y bicentro que has escrito tú equivale a la otra que di yo (centro=vértice con mínima distancia al resto).

 Ahora, es totalmente absurdo que te den esa definición y te manden probar:

1) Demuestre que cada árbol es central o bicentral pero no ambas cosas a la vez.

 Con esa definición tuya...¡no hay nada que probar!.. ya te están diciendo que o te queda un árbol central o uno bicentral.

Saludos.