Autor Tema: Es esta una definición equivalente a la de Ecuación Diferencial No Lineal

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29 Abril, 2019, 12:22 am
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mathman

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En un texto tengo la siguiente definición de EDL (Ecuación Diferencial Lineal):

  • Una EDL es cualquier ecuación diferencial que se pueda escribir de la siguiente forma:

    \( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)y'(t)+a_0y(t)=g(t) \)

    En esencia, en la ecuación no hay productos de la función \( y(t) \) con ninguna de sus derivadas, y ni la función ni sus derivadas están elevadas a una potencia distinta de 1.

Pero luego veo esta ecuación:

\( y'''+\sen{(x+y^{(4)})}=\sen{x} \)

Y es no lineal porque la función \( y(t) \) aparece evaluada en seno que es una función no lineal (esta debe ser la razón me imagino).

¿Puedo decir: una ecuación diferencial es no lineal cuando en la ecuación aparecen productos de la función \( y(t) \) con alguna de sus derivadas o la función o alguna de sus derivadas aparecen evaluadas en funciones no lineales?


29 Abril, 2019, 12:47 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

En un texto tengo la siguiente definición de EDL (Ecuación Diferencial Lineal):

  • Una EDL es cualquier ecuación diferencial que se pueda escribir de la siguiente forma:

    \( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)y'(t)+a_0y(t)=g(t) \)

    En esencia, en la ecuación no hay productos de la función \( y(t) \) con ninguna de sus derivadas, y ni la función ni sus derivadas están elevadas a una potencia distinta de 1.

Pero luego veo esta ecuación:

\( y'''+\sen{(x+y^{(4)})}=\sen{x} \)

Y es no lineal porque la función \( y(t) \) aparece evaluada en seno que es una función no lineal (esta debe ser la razón me imagino).

No creo, porque en tu definición de EDL dice:

\( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+...+a_1(t)y'(t)+a_0y(t)=g(t) \)

que \( y=y(t) \) (depende de UN parámetro), mientras que \( \sen(x+y^{(4)})=h(x,y) \) depende de DOS parámetros \( x \) e \( y \).

Es decir, con la definición de que un sumando es de la forma \( a_i(t)y^{(i)}(t) \), ¿de qué manera podrías reescribir a \( \sin(x+y^{(4)}) \) para que pase a tener esa forma? Es imposible, por ende existe un término que no cumple la definición y por tanto no es una EDL.

Saludos

EDIT. Bueno en verdad sí que se puede transformar conociendo el seno de una suma: \( \sin(x+y^{(4)})=\sin(x)\cos(y^{(4)})+\cos(x)\sin(y^{(4)}) \) pero como decís, el seno ni el coseno son funciones lineales.

29 Abril, 2019, 01:16 am
Respuesta #2

mathman

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\( y=y(t) \) (depende de UN parámetro), mientras que \( \sen(x+y^{(4)})=h(x,y) \) depende de DOS parámetros \( x \) e \( y \).

Es decir, con la definición de que un sumando es de la forma \( a_i(t)y^{(i)}(t) \), ¿de qué manera podrías reescribir a \( \sin(x+y^{(4)}) \) para que pase a tener esa forma? Es imposible, por ende existe un término que no cumple la definición y por tanto no es una EDL.

EDIT. Bueno en verdad sí que se puede transformar conociendo el seno de una suma: \( \sin(x+y^{(4)})=\sin(x)\cos(y^{(4)})+\cos(x)\sin(y^{(4)}) \) pero como decís, el seno ni el coseno son funciones lineales.

No sabía que los parámetros podían ser una razón. Hubiese pensado que \( y^{(4)} \) está en términos de \( x \) o es constante, y que con esto bastaría para rescribir de la forma \( \sen{(b(x))} \) que en sí mismo es \( a(x) \). ¿Qué pasa aquí?

El EDIT si me queda más claro.

29 Abril, 2019, 01:19 am
Respuesta #3

ciberalfil

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Basicamente no, lo que debes hacer es verificar si es lineal, si cumple con la definición de ecuación lineal, y en caso contrario decir que no lo es.

Ocurre lo mismo con los números racionales, se definen los racionales y entonces los irracionales son todos los que no son racionales.

Si ya tienes definidas las ecuaciones lineales resulta estéril definir las no lineales, al igual que resulta inútil definir los números irracionales si ya tenemos definidos los racionales.

Salu2

29 Abril, 2019, 01:22 am
Respuesta #4

mathman

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Basicamente no, lo que debes hacer es verificar si es lineal, si cumple con la definición de ecuación lineal, y en caso contrario decir que no lo es.

Ocurre lo mismo con los números racionales, se definen los racionales y entonces los irracionales son todos los que no son racionales.

Si ya tienes definidas las ecuaciones lineales resulta estéril definir las no lineales, al igual que resulta inútil definir los números irracionales si ya tenemos definidos los racionales.

Salu2

Bien, entiendo. Sobre la ecuación que escribí de ejemplo, ¿esta bien la razón que expliqué para decidir que no es una ecuación lineal?

29 Abril, 2019, 01:26 am
Respuesta #5

ciberalfil

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Puede servir como argumento, pero solo para esta ecuación, lo correcto es hacer lo que te he dicho, verificar si es lineal y en caso negativo afirmar que no lo es. Ese es el camino seguro para cualquier ecuación. Ecuaciones diferenciales no lineales hay muchas y de muchos tipos, definirlas una a una por sus propiedades es sencillamente una barbaridad. Ya las estudiarás, tranquilo, que hay muchas y de muchos tipos. Te vas a divertir, sí.

Salu2

29 Abril, 2019, 01:32 am
Respuesta #6

mathman

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Puede servir como argumento, pero solo para esta ecuación, lo correcto es hacer lo que te he dicho, verificar si es lineal y en caso negativo afirmar que no lo es. Ese es el camino seguro para cualquier ecuación.

Salu2

Bueno, gracias. Otra cosa, esta ecuación es de orden 4, ¿cierto? No sé si el hecho de que la derivada de orden cuatro está siendo evaluada en otra función afecte el orden de la ecuación completa. Podría ser de orden 3 si tomo \( sen(x+y^{(4)}) \) como un \( a(x) \), por lo tanto \( y'''+a(x)=\sen{(x)} \) (orden 3). ¿El orden es 3 o 4?

29 Abril, 2019, 01:34 am
Respuesta #7

ciberalfil

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Supongo que te refieres a ésta:

\( y^{(3}+\sen{(x+y^{(4})}=\sen{x} \)

No, no, si aparece una derivada de orden 4 entonces es una ecuación de cuarto orden, no lineal y de cuarto orden. Eso es inamovible. Y a primera vista muy difícil de resolver.

Salu2

29 Abril, 2019, 01:35 am
Respuesta #8

mathman

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