Lo único que se me ocurre es considerar una nueva variable \( w=u+v \), y sacar las condiciones para \( w \), ya que la ecuación es equivalente, en este caso, a \( w_x(x,y) = f(x,y) \). En este caso se resuelve fácilmente.
Si por ejemplo se tuviera condiciones de contorno en \( w(0,y) \) para \( y \) en el dominio (esto sería equivalente a saber cuánto vale \( u+v \)), entonces se podría resolver por
\( \int_0^x w_x(t,y)\,\mathrm{d}t = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t, \)
y por tanto
\( w(x,y) = F(x,y) + w(0,y), \)
donde \( F(x,y) = \int_0^x f(t,y)\,\mathrm{d}t \).
Nótese que se podría resolver si más generalmente se conoce \( u+v \) en una recta \( y=ax+b \) con \( a\neq0 \).