[jlopez]

Quiero saber cual es la aceleración de una partícula sometida a un campo magnético que varía con el tiempo.
Esta aceleración es debida al incremento de energía potencial. Si la partícula se desplaza a lo largo del eje z, supongo:

\( V=\int E*dz \)

Quisiera sacarlo de las ecuaciones de Maxwell:
\( \displaystyle\nabla \wedge \overrightarrow{E}=-\frac{d\overrightarrow{B}}{dt}\\\\
\begin{bmatrix}dE_z/dy- dE_y/dz
\\-dE_x/dz+ dE_z/dx
\\dE_y/dx- dE_x/dy
\end{bmatrix}
= -
\begin{bmatrix}dBx/dt
\\dB_y/dt
\\dB_z/dt
\end{bmatrix} \)

Es posible obtener B y dB/dt, pero el problema es obtener E, pues me salen 3 ecuaciones y 6 incógnitas: dEx/dy, ...
(Nota: no se meter fracción en latex dentro de la matriz pues no sale bien)
Nota-2: No sé si he puesto bien en la fórmula del gradiente la segunda fila pues no sé si se multiplica por -1 en la multiplicación matricial, pues según wikipedia debiera ser sin multiplicar por -1 pero según las reglas de producto vectorial debe multiplicarse por -1

También se podría sacar de la versión integral, aunque esa no sé bien como manejarla.
Supongo que E*dz se puede poner:

\( \displaystyle\int \overrightarrow{E}*\overrightarrow{dz}=\int Ez*dz \)

Lo malo que no consigo despejar Ez o dEz/dz de las ecuaciones de Maxwell

[jlopez]

De la ecuación de Maxwell que he puesto, se me ocurre que sumando las dos primeras obtengo:
\( \frac{dEz}{dy}-\frac{dEy}{dz}+\frac{dEz}{dx}-\frac{dEx}{dz}=-\frac{d(Bx+By)}{dt} \)

Si el acelerador repite la estructura cada tramo L, o sea es una estructura periódica, entonces integrando en el eje z hasta z=L los terminos derivativos en eje x y y se van y queda:

\( \frac{dEz}{dy}-\frac{dEy}{dz}+\frac{dEz}{dx}-\frac{dEx}{dz}=-\frac{d(Bx+By)}{dt}\\\\
V=\int \left [\frac{dEz}{dy}+\frac{dEz}{dx}   \right ]*dz= -\int  \frac{d(Bx+By)}{dt}*dz \)

Sigo teniendo la duda del signo del rotacional, no sé si la segunda fila es correcta:
\( \nabla \wedge \overrightarrow{E}=
\begin{bmatrix}dE_z/dy- dE_y/dz
\\-dE_x/dz+ dE_z/dx
\\dE_y/dx- dE_x/dy
\end{bmatrix} \)

[jlopez]

Aparte del problema del signo, ¡me sale dimensionalmente incorrecta! pues según la ley de Lorentz:

\( V=-\displaystyle\frac{d\emptyset}{dt}=-\frac{d(\bar{B}\cdot{}\bar{A})}{dt} \)

O sea, se multiplica por metros cuadrados, no metros, en el caso de una partícula que vá pasando por un campo magnético ¿cual diablos es el área?

[Samir M.]

Hola.

En este enlace tienes el desarrollo del rotacional. Por otro lado, no sé con certeza qué intentas. Necesitas saber la forma de \( B \) para poder resolverlas, en algunos casos resulta imposible analíticamente.

Saludos.

[jlopez]

necesitaría saber la aceleración de la partícula en función de dB/dt o sus integrales.

El problema es que me sale que el voltaje es la integral de la derivada del campo magnético con respecto del tiempo, todo ello integrando en la longitud recorrida por la partícula, o sea dB/dt*L, sin embargo según Lorentz el voltaje es la derivada del FLUJO con respecto del tiempo, por lo que multiplica por metros al cuadraado no por metros

En mi caso sabría resolver el problema pues sé en todo tiempo y lugar cual es el campo pues tengo un simulador que lo calcula, pero no me calcula la aceleración, eso sí con la ecuación de Maxwell integrada de forma correcta pero tiene que ser dimensionalmente correcta y con los signos bien. No se bien como meter la integral de las derivadas cruzadas en el simulador, lo que necesitaría es despejar:
\( \int E_z*dz \)
Pues haría la integral a lo largo de la línea por la que se mueve la partícula por lo que las integrales perpendiculares al movimiento son 0
(La velocidad de la partícula se sacaría de la energía que es q*V que es esa integral multiplicada por la carga)

[Samir M.]

Hola.

¿Pero y por qué no lo planteas con la fuerza de Lorentz? Tienes que  \( E + \dfrac{1}{c}v \times B = \dfrac{m}{e} v' \)...

Si no lo que puedes hacer es, en vez de desarrollar el rotacional, usar el teorema de Stokes y reescribir la ecuación de maxwell en forma integral.

Saludos.

[jlopez]

¿Pero y por qué no lo planteas con la fuerza de Lorentz? Tienes que  \( E + \dfrac{1}{c}v \times B = \dfrac{m}{e} v' \)...

Creía que solo sirve para campos magnéticos estacionarios, supongo te refieres a m*a=q*E-qv^B

Miraré lo de Stokes,
Otra opción que se me ocurre es \( FEM=-d\emptyset/dt \) aunque tendría que integrar el campo B en todo el área alrededor del recorrido de la partícula y del campo generado, podía integrar en todo el círculo que recorre la partícula (creo)