Autor Tema: Determinar la derivada de una integral dada

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10 Abril, 2019, 07:14 pm
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Buenas, llevo un rato dándole vueltas, y no se si este procedimiento es correcto o que habría que hacer, dada la función:

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt \)

Calcular la derivada de F(x) sin calcular esta integral, mi problema es que no se como unir las dos partes, ya que en caso de que no hubiese límites de integración no habría problema tampoco, pero no se si puedo cambiar la variable de integración para ajustar los límites o como debo hacerlo...
Si alguien me puede ayudar lo agradecería mucho!

10 Abril, 2019, 07:26 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas, llevo un rato dándole vueltas, y no se si este procedimiento es correcto o que habría que hacer, dada la función:

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt \)

Calcular la derivada de F(x) sin calcular esta integral, mi problema es que no se como unir las dos partes, ya que en caso de que no hubiese límites de integración no habría problema tampoco, pero no se si puedo cambiar la variable de integración para ajustar los límites o como debo hacerlo...
Si alguien me puede ayudar lo agradecería mucho!

Usa el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena. Tenemos que esa integral es equivalente a \( G(1)-G(\sqrt x) \) donde \( G \) es una primitiva del integrando, por tanto la derivada de \( F \) será...

ACLARACIÓN.

10 Abril, 2019, 08:11 pm
Respuesta #2

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Quieres decir... que

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt=G(1)-G(\sqrt[ ]{x}) \)

Y lo que busco es: \( F'(x)=f(x) \), lo único que estaría afirmando con esto es que:

\( f(x)=F'(x)=G''(x) \)

O no estoy entendiendo bien a que te refieres a que G es una primitiva del integrando, porque yo lo que busco es la derivada del integrando, no..?

10 Abril, 2019, 08:22 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Quieres decir... que

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt=G(1)-G(\sqrt[ ]{x}) \)

Y lo que busco es: \( F'(x)=f(x) \), lo único que estaría afirmando con esto es que:

\( f(x)=F'(x)=G''(x) \)

O no estoy entendiendo bien a que te refieres a que G es una primitiva del integrando, porque yo lo que busco es la derivada del integrando, no..?
No... Tú buscas la derivada de \( F \), es decir, calcular \( \displaystyle F'(x)=[G(1)-G(\sqrt x)]' \). La derivada del integrando es otra cosa, el integrando es \( e^{1/t} \).

Ahora bien: \( G \) es una primitiva del integrando, es decir, que \( G'(x)=e^{1/x} \). Ya con lo dicho lo sabrás resolver, ¿no?

P.D.: he corregido mi primer mensaje para dejarlo claro.

10 Abril, 2019, 08:46 pm
Respuesta #4

pgs

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Vaale, creo que lo he comprendido:

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt=G(1)-G(\sqrt[ ]{x}) \)

Además sabemos entonces:

\( \frac{dG(x)}{dx}=e^{1/x} \)

\( \displaystyle F'(x)=[G(1)-G(\sqrt x))]'=\frac{dG(1)}{dx}-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=-e^{1/{\sqrt[ ]{x}}} \)

Lo dejo por aquí por si a alguien le interesa algún día, si hay fallos avisad
Muchas gracias!!

10 Abril, 2019, 09:15 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Vaale, creo que lo he comprendido:

\( F(x)=\displaystyle\int_{\sqrt[ ]{x}}^{1}e^{1/t}dt=G(1)-G(\sqrt[ ]{x}) \)

Además sabemos entonces:

\( \frac{dG(x)}{dx}=e^{1/x} \)

\( \displaystyle F'(x)=[G(1)-G(\sqrt x))]'=\frac{dG(1)}{dx}-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=-e^{1/{\sqrt[ ]{x}}} \)

Lo dejo por aquí por si a alguien le interesa algún día, si hay fallos avisad
Muchas gracias!!

Hay un error: \( G'(\sqrt x)\neq [G(\sqrt x)]' \).

Spoiler
Usa la regla de la cadena.
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11 Abril, 2019, 06:29 am
Respuesta #6

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Perdón de verdad por todas las molestias pero me cuesta enterarme de las cosas, aplicando regla de la cadena...

Si ya sabemos que: \( G'(x)=e^{1/x} \)

\( \displaystyle F'(x)=[G(1)-G(\sqrt x))]'=\frac{dG(1)}{dx}\cdot{}\frac{d1}{dx}-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}\cdot{}\frac{d{\sqrt[ ]{x}}}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}\cdot{}\frac{d{\sqrt[ ]{x}}}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=\displaystyle\frac{-e^{1/{\sqrt[ ]{x}}}}{2\sqrt[ ]{x}} \)

Entiendo que se aplica así la regla de la cadena, o se ha de aplicar antes, es decir \( (G(\sqrt[ ]{x}))'=\frac{dG}{dx}\cdot{}\frac{d}{dx}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}} \)

11 Abril, 2019, 10:32 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Si ya sabemos que: \( G'(x)=e^{1/x} \)

\( \displaystyle F'(x)=[G(1)-G(\sqrt x))]'=\frac{dG(1)}{dx}\cdot{}\frac{d1}{dx}-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}\cdot{}\frac{d{\sqrt[ ]{x}}}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}\cdot{}\frac{d{\sqrt[ ]{x}}}{dx}=-\frac{dG({\sqrt[ ]{x}})}{dx}=\displaystyle\frac{-e^{1/{\sqrt[ ]{x}}}}{2\sqrt[ ]{x}} \)

Está bien.

Saludos.