Autor Tema: Compacidad de B(0,1) de X* con la topología débil*

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08 Abril, 2019, 08:20 pm
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Eparoh

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Hola, estoy intentando demostrar el siguiente teorema:

Sea \( X \) un espacio normado y \( B_{X^*} \) la bola unidad en su dual, entonces el espacio \( \left( B_{X^*}, \sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}} \right) \) es compacto, siendo \( \sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}} \) la topología relativa a \( B_{X^*} \) de la topología débil* sobre el dual de \( X \).

Estoy siguiendo ciertas pautas, y en primer lugar he demostrado que dado el espacio compacto con la topología producto \( \left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right) \), donde

\( [-1,1]^{B_X}=\{f:B_x \longrightarrow{} [-1,1]\} \)

la aplicación

\( \varphi: \left( B_{X^*}, \sigma\left( X^*,X\right)_{B_{X^*}} \right) \longrightarrow{} \left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right) \)

dada por \( \varphi(f)=f|_{B_X} \) esta bien definida, es inyectiva y continua.

Tras esto, he visto que esta aplicación es un homeomorfismo en su imagen, y el último paso es ver que dicha imagen, \( \varphi(B_{X^*}) \) es cerrado en \( \left( [-1,1]^{B_X}, \tau_p \right) \) con lo cual será compacto, y lo será pues el espacio deseado.

El último paso es el que no consigo demostrar, lo que he intentado ha sido tomar una red \( \{\varphi(f_d)\}_{d \in D} \) en \( \varphi(B_{X^*}) \) convergente en la topología producto a cierta \( g \in [-1,1]^{B_X} \) y si veo que \( g \) está realmente en \( \varphi(B_{X^*}) \) entonces será cerrado.
Así, por la convergencia de redes en la topología producto, se que para cada \( x \in B_X \) se tiene que la red \( p_x\left( \varphi(f_d)\right) \) converge en \( \mathbb{R} \) a \( p_x(g) \) siendo \( p_x \) la proyección canónica para el elemento \( x \). Y, por la definición de \( \varphi \) y de las proyecciones, llego a que

\( f_d(x) \xrightarrow[d \in D]\,{}g(x), \forall x \in B_X \)

A partir de aquí he intentado hallar alguna aplicación \( f \) en \( B_{X^*} \) tal que restringida a \( B_X \) sea \( g \) empleando la información de la convergencia en \( B_X \) pero no he logrado nada.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

09 Abril, 2019, 10:26 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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09 Abril, 2019, 09:41 pm
Respuesta #2

Eparoh

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Hola, muchas gracias por la respuesta.
Ya miré le pdf que pusiste y creo que lo entiendo todo, aunque me han surgido algunas dudas y he demostrado ciertos lemas que no se si son del todo correctos y sería de mucha ayuda si pudieras echarles un vistazo  ::)

En primer lugar, cuando dice que la compacidad no depende del espacio ambiente, se refiere a que dado un un espacio topológico \( (X , \tau) \) un subconjunto \( K \subset X \) es compacto si, y solo si, lo es con la topología relativa a \( K \), ¿verdad?

El subconjunto \( V \) de \( \displaystyle\prod_{x \in X}{D_x} \) es un abierto en la topología producto en este conjunto pues podemos expresarlo como \( V=\displaystyle\prod_{z \in X}{V_z} \) siendo

\( V_z=\begin{cases} D_z & \text{si}& z \not \in \{x, y, \alpha x+y\}\\\left( f(z)-\varepsilon, f(z)+\varepsilon \right) \cap D_z & \text{si}& z \in \{x, y, \alpha x+y\}\end{cases} \)

¿Ésto es correcto?

Respecto a los lemas que comenté, son los siguientes:

Sea \( (X, \tau) \) un espacio topológico donde \( \tau \) es la topología inducida por una familia de aplicaciones \( \{f_\alpha: X \longrightarrow{} (Y_\alpha, \tau_\alpha)\} \), entonces  dado \( Y \subset X \) la topología relativa de \( Y \), \( \tau_Y \), es la topología inducida por la familia de aplicaciones  \( \{f_\alpha|_Y: Y \longrightarrow{} (Y_\alpha, \tau_\alpha)\} \).

Demostración:

Spoiler
Sabemos que \( S=\{{f_\alpha}^{-1}(U_\alpha): U_\alpha \in \tau_\alpha\} \) es una subbase de \( \tau \), luego \( S_Y=\{{f_\alpha}^{-1}(U_\alpha) \cap Y: U_\alpha \in \tau_\alpha\} \) es subbase de la topología relativa \( \tau_Y \), y como

\( (f_\alpha|_Y)^{-1}(U)=\{y \in Y: f_\alpha(y) \in U\}=Y \cap \{x \in X: f_\alpha(x) \in U\}=Y \cap {f_\alpha}^{-1}(U) \)

tendremos que

\( S_Y=\{(f_\alpha|_Y)^{-1}(U_\alpha): U_\alpha \in \tau_\alpha\} \)

Por otro lado, una subbase para la topología inducida por \( \{f_\alpha|_Y: Y \longrightarrow{} (Y_\alpha, \tau_\alpha)\} \) será \( S=\{(f_\alpha|_Y)^{-1}(U_\alpha): U_\alpha \in \tau_\alpha\}=S_Y \), con lo que \( S_Y \) es subbase de ambas topologías y por tanto, éstas son iguales tal como queríamos demostrar.
[cerrar]

Sea \( \left(X_i, \tau_i \right)_{i \in I} \) una familia de espacios topológicos y \( \left( \displaystyle\prod_{i \in I} {X_i}, \tau_p \right) \) el espacio topológico producto, entonces si consideramos un subconjunto \( \displaystyle\prod_{i \in I} {Y_i} \subset \displaystyle\prod_{i \in I} {X_i} \) con la topolgía relativa, se tiene que está coincide con la topología producto para la familia \( \left(Y_i, {\tau_i}_Y \right)_{i \in I} \).

Demostración:

Spoiler
Por un lado, sabemos que como la topología producto es la generada por la familia de proyecciones \( \{p_j: \displaystyle\prod_{i \in I} {X_i} \longrightarrow{} (X_j, \tau_j)\}_{j \in I} \), por el lema anterior, una subbase para \( Y=\displaystyle\prod_{i \in I} {Y_i} \) con la topología relativa será

\( S_Y=\{(p_i|_Y)^{-1}(U_i): U_i \in \tau_i\} \)

Por otro lado, tenemos que la topología producto para la familia \( \left(Y_i, {\tau_i}_Y \right)_{i \in I} \) será la generada por la familia de proyecciones  \( \{p'_j: \displaystyle\prod_{i \in I} {Y_i} \longrightarrow{} (Y_j, {\tau_j}_Y)\}_{j \in I} \), luego una subbase para ésta será

\( S=\{(p'_i)^{-1}(V_i): V_i \in {\tau_i}_Y\} \)

Ahora, observemos que dado \( U_j \in \tau_j \) se tiene que

\( (p_j|_Y)^{-1}(U_j)=\{f \in Y: p_j(f) \in U_j\}=\{f \in Y: f(j) \in U_j\}=\{f \in Y: f(j) \in U_j \cap Y_j\}=(p'_j)^{-1}(U_j \cap Y_j) \)

luego

\( S_Y=\{(p_i|_Y)^{-1}(U_i): U_i \in \tau_i\}=\{(p'_i)^{-1}(U_i \cap Y_i): U_i \in \tau_i\}=\{(p'_i)^{-1}(V_i): V_i \in {\tau_i}_Y\}=S \)

Es decir, \( S_Y \) es subbase de ambas topologías y por tanto, las topologías coinciden como queríamos ver.
[cerrar]

Un saludo y muchísimas gracias por tu ayuda y tiempo.

10 Abril, 2019, 11:44 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 De acuerdo en todo.  ;)

Saludos.