Autor Tema: Problema sobre integral

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08 Abril, 2019, 02:38 am
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juanc

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Hola, de antemano agradezco la ayuda en lo siguiente:
Sea \( k\in{[\displaystyle\frac{1}{4},1]} \) una constante. Demuestre que se cumple
\( \displaystyle\frac{2}{e}\leq{\displaystyle\int_{-1}^{1}\displaystyle\frac{(x^2+1)e^{-x^2}}{\sqrt{x^4+x^2+k}}}dx\leq{2+\sqrt{2}\arctan (\sqrt{2}}) \).

08 Abril, 2019, 06:08 am
Respuesta #1

Masacroso

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Observa que la integral es simétrica respecto del cero, por tanto la desigualdad puede escribirse también como

\( \displaystyle \frac1e\le\int_0^1\frac{(x^2+1)e^{-x^2}}{\sqrt{x^4+x^2+k}}dx\le 1+\frac1{\sqrt2}\arctan (\sqrt2)\tag1 \)

Ahora bien, es fácil demostrar que la función definida por \( g:[0,1]\to\Bbb R,\,x\mapsto e^{-x^2} \) tiene un mínimo absoluto en \( x=1 \), y que \( x^2+1\ge\sqrt{x^4+x^2+k} \) para todo \( x\in[0,1] \) y para todo \( k\in[1/4,1] \), por lo que la primera desigualdad es evidente.

Para la segunda desigualdad es suficiente con demostrar que

\( \displaystyle\int_0^1\frac{x^2+1}{\sqrt{x^4+x^2+1/4}}dx\le 1+\frac1{\sqrt 2}\arctan(\sqrt2)\tag2 \)

que es lo mismo que


\( \displaystyle\int_0^1\frac{x^2+1}{x^2+1/2}dx\le 1+\frac1{\sqrt 2}\arctan(\sqrt2)\tag3 \)

lo cual también es fácil de demostrar.