Autor Tema: Paso al límite bajo el signo integral (I).

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25 Abril, 2019, 12:21 pm
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latex

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Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:

\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.

Pero usando la teoría más general de Lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?







La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).

Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:

\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)



realizando el cambio, \(  u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2)  \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du  \)                        \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)



y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}  \)

Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?


Muchas gracias de antemano :)
Saludos.

25 Abril, 2019, 08:28 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola buenos días, tengo un par de dudas, si nos encontramos que tenemos que calcular:

\( \lim _{n\to \infty }\int _\mathbb{R}^{ }\frac{n\cdot sen\frac{x}{n}}{x\left(1+x^2\right)}dx\: \). Sabiendo que la convergencia puntual de \( f_n=n \cdot sen(x/n) \) es la función \( f(x)=x \), dado que no se tiene convergencia uniforme, usando la integración de Riemann no es posible realizar el paso bajo el límite integral.

Pero usando la teoría más general de lebesgue, podemos usar la integral de Lebesgue, donde se tiene dicho resultado con la convergencia puntual
Por tanto es igual a resolver \( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{1+x^2}dx = \pi/2 \) esto a grandes rasgos es cierto, pero, ¿necesitaría verificar alguna hipótesis adicional?

Es que la integral de partida viene simbolizada como si fuese de Lebesgue por el uso de la \( \Bbb R \), así que habría que interpretarla así.

Suponiendo que no fuese de Lebesgue entonces sería una integral impropia de Riemann. Si la interpretamos así entonces lo único a verificar, después de aplicar la convergencia dominada asumiendo que es de Lebesgue, es que cuando la integral de Lebesgue existe entonces ésta coincide con la integral impropia de Riemann correspondiente, cosa que siempre es cierta cuando el integrando es Riemann integrable en cualquier intervalo cerrado de la región de integración.

Con eso entonces es suficiente con ver que el límite define una sucesión convergente, sea del tipo de integral que sea.

Citar
La segunda duda, es relacionada sobre el teorema Beppo-Levi, calcular \( \sum _{n=0}^{\infty }\:\int _0^{\frac{\pi }{2}}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \).

Bajo ciertas condiciones adecuadas si se pudiera conmutar la suma infinita bajo el signo integral:

\( \int _{0}^{ \frac{\pi }{2} }\:\sum _{n=0}^{\infty}\left(1-\sqrt{sen\left(x\right)}\right)^n\cdot cos\left(x\right)dx \)



realizando el cambio, \(  u=1-\sqrt{sen\left(x\right)} \\ x=arcsen(1-u^2)  \\ dx=\displaystyle\frac{-2|1-u|}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du  \)                        \( x\in(0,/pi /2) \Rightarrow{0<u<1} \)



y sabiendo que \( \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\displaystyle\frac{1}{1-x} \) , para (\( |x|<1 \)) y que \( cos(arcsen(1-u)^2) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}  \)

Quedando la siguiente integral: \( \displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{1-(1-u)^4}}du \) ¿no?


Muchas gracias de antemano :)
Saludos.

No conozco el teorema de Beppo-Levi pero se puede dar el cambio, sí, apelando a la teoría de Lebesgue, ya que el integrando es absolutamente integrable, es decir, tenemos que si cada \( |f_n| \) es Lebesgue integrable con valores en la recta real extendida entonces su suma también lo es.

Ahora bien, el intercambio de suma e integral es lo mismo que un cambio de integral y límite, por tanto se verifica que si el límite converge como sucesión de integrales de Lebesgue, siendo cada integrando también Riemann integrable, entonces el límite existe independientemente del tipo de integral que se use, ya que ambas integrales coinciden para cada elemento de la sucesión.

AÑADIDO: vale, el teorema de Beppo-Levi al que creo te refieres dice lo mismo que quería decir yo.

EDITADO: he hecho algunas ediciones para mejorar la redacción y corregir inexactitudes.

25 Abril, 2019, 11:05 pm
Respuesta #2

latex

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Lo que no termino de ver al 100% , es probar que se satisfacen dichas hipótesis para poder aplicar los teoremas correspondientes. Por ejemplo encontrar \( g(x) \geq{0} x\in D \) (dominio de integración) tal que para cada \( n \in N \) ,    \( |f_n(x)| \leq{g(x)} \)  y se tenga que \( g(x) \) es integrable.
¿Qué función en estos casos sería \( g \)?

25 Abril, 2019, 11:47 pm
Respuesta #3

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Lo que no termino de ver al 100% , es probar que se satisfacen dichas hipótesis para poder aplicar los teoremas correspondientes. Por ejemplo encontrar \( g(x) \geq{0} x\in D \) (dominio de integración) tal que para cada \( n \in N \) ,    \( |f_n(x)| \leq{g(x)} \)  y se tenga que \( g(x) \) es integrable.
¿Qué función en estos casos sería \( g \)?


Cierto, perdón, no había caído que no se puede aplicar ahí la convergencia dominada estándar, hay que aplicar otro teorema de convergencia dominada en sucesiones me parece. Luego lo miro y edito.

intento fallido
Tenía en mente usar éste teorema que es más general, pero no se puede aplicar directamente. Lo que se puede hacer es un cambio de variable \( x/n=y \), entonces queda

\( \displaystyle \int_{\Bbb R}\frac{n\sen(x/n)}{x(1+x^2)}\, dx=\int_{\Bbb R}\frac{n\sen y}{y(1+n^2y^2)}\, dy \)

y ahí ya podemos intentar aplicar el teorema de convergencia dominada generalizado antes citado ya que \( \left|\frac{n\sen y}{y(1+n^2y^2)}\right|=\left|\frac{\sen y}y\right|\frac n{1+n^2y^2}\le\frac n{1+n^2y^2} \) y \( \frac{n}{1+n^2y^2} \) converge puntualmente a cero. Sin embargo no podemos ya que no se cumple la condición necesaria

\( \displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}\frac{n}{1+n^2y^2}\, dy=0 \)

Hay que probar otra cosa. Ahora mismo no doy con la clave.
[cerrar]



En verdad sí que se puede aplicar directamente el teorema de convergencia dominada, sólo hay que observar que \( \frac{\sen(x/n)}{x/n}\in[-1,1] \) para cualesquiera valores de \( x\in\Bbb R \) y \( n\in\Bbb N_{>0} \). Me había despistado el \( n \) como multiplicando.

27 Abril, 2019, 12:28 pm
Respuesta #4

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