Autor Tema: Integral nula

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03 Abril, 2019, 16:13
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Estoesesparto

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Buenas tardes, si tengo que \[  \displaystyle\int_{0}^{x} f(t)\, dt  \] = 0 \[  \forall{x}\in{[0,1]}  \] con f continua en [0,1] ¿entonces f es la función nula?

03 Abril, 2019, 19:15
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Estoesesparto.

Podemos proceder por reducción al absurdo. Supongamos que

    \[ \Big(\forall x\in[0,1]\Big) \]   \[ \displaystyle\int_0^xf(t)dt=0 \],

y supongamos por el contrario que \[ f \] no se anula en todo el intervalo \[ [0,1] \].


Como \[ f \] no se anula en todo \[ [0,1] \] y es continua, podemos elegir un intervalo \[ ]x_1,x_2[\subset ]0,1[ \] donde

    \[ \Big(\forall x\in ]x_1,x_2[\Big) \]   \[ f(x)>0 \]   \[ \vee \]   \[ f(x)<0 \].

Se sigue que

    \[ \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt\neq 0 \].



Luego, por hipótesis

    \[ \displaystyle\int_0^{x_1}f(t)dt=0 \]   y   \[ \displaystyle\int_0^{x_2}f(t)dt=0 \]

de donde

    \[ \displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(t)dt=\int_0^{x_2}f(t)dt-\int_0^{x_1}f(t)dt=0 \]

lo que es una contradicción, y por tanto la función debe anularse en todo \[ [0,1] \].

03 Abril, 2019, 19:56
Respuesta #2

delmar

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Hola

Solamente para complementar, la correcta demostración de mathtruco, al suponer que f no se anula en el intervalo \[ [0,1] \], se esta suponiendo que \[ \exists{x_0}\in{[0,1]} \ / \ f(x_0)\neq{0} \], en esas condiciones hay dos alternativas, que se excluyen :

1) \[ f(x_0)>0 \]   ó     2) \[ f(x_0)<0 \]

Considerando la alternativa 1), el Teorema de Conservación de Signo para las funciones continuas dice que \[ \exists{\delta}>0 \ / \ f(x)>0, \ si \ x\in{]x_0-\delta,x_0+\delta[} \], denominando \[ x_1=x_0-\delta, \ \ x_2=x_0+\delta \], se tiene el intervalo \[ ]x_1,x_2[\subset{[0,1]} \], donde bajo la alternativa 1) \[ f(x)>0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \]. Lo mismo ocurre para la alternativa 2) con la única diferencia que \[ f(x)<0, \ \forall{x}\in{]x_1,x_2[} \]


Saludos

04 Abril, 2019, 16:16
Respuesta #3

argentinator

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Puede que haya varias maneras de abordar la demostración.
A la prueba de mathtruco me gustaría ponerla en otros términos.
Por ejemplo, agregar que en el intervalo abierto \[ (x_1, x_2)  \] 
es posible tomar un intervalo cerrado \[ [\alpha, \beta] \], tal que \[ \alpha < \beta \].
¿Para qué?
Para usar que se sabe que en un intervalo cerrado una función continua alcanza un mínimo, digamos en un punto \[ c \].
De ahí que, si se considera el caso en que \[ f(x) > 0 \], entonces tendríamos que \[ f(c) > 0 \], y entonces:

\[ \int_{\alpha}^\beta f(x) \,dx  \geq \int_{\alpha}^\beta f(c)\,dx=f(c)(\beta-\alpha)=:\gamma. \]

Luego:

\[ 0<\gamma\leq \int_{\alpha}^\beta f(x)\,dx=\int_0^\beta - \int_0^\alpha = 0-0 = 0 \]

contradicción.


04 Abril, 2019, 18:08
Respuesta #4

Masacroso

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Otra manera sería recurriendo al teorema fundamental del cálculo: tenemos que \[ f \] es continua, por tanto \[ F(x):=\int_0^x f(t)\, dt \] es una primitiva de \[ f \], y por tanto \[ F'=f \]. Como \[ F=0 \] entonces necesariamente \[ f=0 \].

(Si es una integral de Lebesgue lo anterior sigue siendo válido, ya que la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden en este caso.)